3.2 通信网络的数学基础.ppt

05-02-29 第1章 通信网络概论 第三章网络的时延分析 第三章 内容概述 3.1 Little定理 3.1.1 Little定理 3.1.2 Little定理的应用 3.2 数学基础 3.3 M/M/m型排队系统 3.3.1 M/M/1排队系统 3.3.2 M/M/m排队系统 3.4 M/G/1型排队系统 3.4.1 M/M/1排队系统 3.4.2 M/M/m排队系统 3.4.2 M/M/m排队系统 3.5 排队网络 3.5.1 Kleinrock独立性近似 3.5.2 Burke定理 3.5.2 Jackson定理 3.2 数学基础 3.2 数学基础 (1) 3.2 数学基础 3.2 Poisson过程 (1) 3.2 Poisson过程 (2) 3.2 Poisson过程 (3) 3.2 Poisson过程 (4) 3.2 数学基础 3.2 马尔科夫过程 (1) 3.2 马尔科夫过程 (2) 3.2 马尔科夫过程 (3) * Fundamental of Communication Networks 通信网络基础 随机过程的基本概念 Poisson过程 马尔科夫过程 随机过程的基本概念：随机过程是随机变量概念在时间域上的延伸。直观地讲，随机过程是时间t的函数的集合，在任一个观察时刻，随机过程的取值是一个随机变量。 设X(t)是一个随机过程，可以从两方面来描述X(t)的特征： 一是在任意时刻t1，随机变量X(t1)的统计特征，如一维分布函数，概率密度函数，均值和方差等。 二是同一随机过程在不同时刻t1和t2对应的随机变量X(t1) 和X(t1) 的相关特性，如多维联合分布函数、相关函数、协方差矩阵等。 随机过程的基本概念 Poisson过程 马尔科夫过程 设一个随机过程为{A(t),t≥0}的取值为非负整数，如果该过程满足下列条件，则称该过程为到达率为λ的Poisson过程: A(t)是一个计数过程，它表示在[0, t）区间内到达的用户总数， A(0)=0, A(t)的状态空间为{0,1,2,…}。 如图所示。任给两个时刻s和t，且st，则A(t)- A(s)即为[s,t)之间到达的用户总数。 A(t)是一个独立增量过程。即在两个不同时间区间（区间不重叠）内到达的用户数是相互独立的。 任一个长度为 的区间内，到达的用户数服从参数为 的 的Poisson分布， 即其均值和方差均为 。由于在区间 内平均到达的用户数为 ，则λ即为单位时间平均到达的用户数或称为到达率。 Poisson过程的基本特征有： 1 到达时间间隔 相互独立，且服从指数分布，其概率密度函数为： 其分布函数为 该特性说明Poisson过程的到达间隔服从指数分布。 Poisson过程的基本特征有： 2 对于一个任意小的区间，将Poisson分布用Taylor级数展开，即利用 可得到 在区间内，没有用户到达的概率 在区间内，有1个用户到达的概率 在区间内，有2个或以上用户到达的概率 随机过程的基本概念 Poisson过程 马尔科夫过程 设有一个随机过程X(t) ，如果对于一个任意的时间序列： t1t2 …tn ，n ≥3，在给定随机变量的X(t1)= x1, X(t2)= x2 ,…,X(tn-1)= xn-1的条件下, X(tn)= xn 的分布可以表示为： 则称X(t)为马尔可夫过程或简称为马氏过程。该过程的基本特点是无后效性，即一步转移关系。 马尔科夫链（Markov）是最简单的马氏过程—即时间和状态过程的取值参数都是离散的马氏过程。 对应于时间序列t1,t2,… tn,…,马氏链的状态序列为i1,i2,…, in,… 。这时马氏链的转移概率为： P{Xn=in|Xn-1=in-1, … , x1=i1} = P{Xn=in|Xn-1=in-1} 该式表示在Xn-1=in-1的条件下，第n次转移出现in的概率。 齐次马氏链：转移概率仅与转移前后的状态有关，而与那一次转移无关（本书仅讨论齐次马氏链），此时转移概率可以表示为： Pij= P{Xn=j|Xn-1=i} 上式称为马氏链的一步转移概率， Pij满足下列条件： n步转移概率：当前第m步的状态为i，经过n步(n+m)之后系统的状态为j的概率： Pijn= P{Xn+m=j | Xm=i } n步转移概率求解：将n进行拆分处理n=m1+m2，则 稳态概率：系统达到稳态后，系统处于某一状