一道流水速度题见出很多真切问题味道.doc

如何学习数学、看待数学？如何看待课本、看待已有的知识点？以下面一题为例。此题是我上初中时的一竞赛题，我将多年前方法与现在方法，写下来，希望对小孩理解数学怎么去学或有帮助。此题的基础题型（相遇、追及问题、及流水问题）在初一数学上册课本上有的，考试中也是一常见的题型，可以变换不测。但如何真正地弄懂已有的知识点，而做到领会一题以敌百题，便收到轻盈、且是最大的效果了。 例：假设在一条流水的河流中央，有一漂浮物。现假定有两船分别从上游与下游，以等同的距离与同样的速度同时去追赶漂浮物。试问，谁先追上呢？ 解：假设船的速度为V，流水速度为v水也即是漂浮物的速度，设等同的距离为S. 方法一：根据题意，两船在流水中的速度分别为，上游船速为V+v水，下游船速为V-v水。 因此上下游两船分别还原为追及、相遇模型。（课本上例题介绍了这两种模型） 因此，假设上游船追上漂浮物的时间为t上，则满足关系式为：（V+v水）t上-v水t上=S.整理即Vt上=S.（追及模型） 因此，假设下游船相遇漂浮物的时间为t下，则满足关系式为：（V-v水）t下+v水t下=S. 整理即Vt下=S.（相遇模型） 因此，Vt上=S=Vt下，所以t上=t下。因此，两船所用时间一样多。 方法二：于参悟“道”的“化”境，与“佛”的“因缘”中所悟：“此生故必生，此有故彼有，此灭故彼灭，此无故彼无”。一即一切即无、于参悟中或得此一法。 语言表达甚多，其实就一种当下的转换，直接悟得结果。 第一种模型：一种设想的静水模型，即假设两船与两船中间的漂浮物是在静水中，两船以等同的距离、等同的速度同时追及漂浮物。显然，两船同时追上物体。 第二种模型：一种设想的流水模型，即假设有两船与两船中间的漂浮物是在流水中，他们都仅仅随流水飘动，即它们自身不带速度. 第三种为合一模型：我称之为，“化”模型或“因缘”模型。 即将静水模型内化于流水模型中，得出便是此题的题型。而这里关键之处是，流水模型是完全等效地作用在静水模型中的两船与漂浮物上，所得正是第三种模型即此题的题型。因此终与始，也是等效的：也就是说此题复杂题型，瞬间可转换为第一种模型即静水模型，因此问题就非常简单了。因为静水模型中，两船同时追上物体，这很显然。 总结： 方法一：数学宗旨意——用已有的知识点去解决各种新问题。树立信心，一定可以解决。（2）看你怎么解决？这个问题是你对已有的知识点是否真正弄懂、弄懂了多少的问题。一句话，你是否将已有的知识点努力转变成自己的已知的知识点。注意，将已有的知识点，内化为自己的已知的知识点。“知之为知之，不知为不知”。 方法二：是一个内在于体悟的过程。（每个人有她的体悟，看她体悟到什么与她体悟的方式是什么。体悟不限于课本学科，而是你的活生生的生活本身，其力量活生生、无限不尽。你的这种力量远远超越课本。）（这种体悟随着生活无处无时不在不有，比如就初中生而言，认真观察生活，就可以发现体验，简单的运动与相对的运动的关系。应该说，这对于解答本题也是有帮助的。总的说一句，课本弄懂、生活体悟，都是有效方法，甚至是活生生的、最深刻的、也是最方便的。） 二、 家长，就数学这门学科而言，数学学习的基本宗旨是：用已有的知识点去解决各种新问题，关键又在于，学习者能否将已有的旧知识点消化为自己的已知的知识点。如果做到已有的知识点熟练、贯通、轻巧地运用，那便是能以最少的气力、时间最有效地解决好各种变换的数学问题、题型。 数学的基本方法，也是最重要的数学方法，便是数学这门学科的分析方法。何谓分析，众人仿佛皆知皆常挂在嘴边，但往往又迷惑不解，其实分析，真的在以后的学习过程中太重要了。 练习： 下面这题是一高中题目，其实它实则是初一书中基本模型、基本知识点的变换而已。看能否从上题中获得启发？去体会数学学习的基本宗旨。 例：一条河流中的水流速度为v1，有一条船以速度V2逆流而上。某时刻,船上掉下一漂浮物。过了时间T，船以不变的速度去追掉下的物体。试问，追上这个物体需要多少时间？ 思考：用课本上的例题模型去解决复杂新问题。实际上在大本大源处看，问题反而并不复杂。 数学宗旨：用已有的知识点，（必须内化领会而变成已知的知识点），去解决各种新问题。 解： 方法一： 经过T时刻船逆流前进（V2-V1）×T,物体顺流走了V1×T的距离，此时传与物体距离为他们之和。 现假定经过船返回追上物体的时间为t，则根据追及问题的模型得出下列等量关系：（v2-v1）×T+v1×T+v1×t=（v1+v2）×t。这就可以得到实际上：t=T，也就是说花了同样的时间。 方法二：等效转化。