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lecture 10 关系性质
定义7.11 设R为A上的关系， （1） 若?x(x∈A→x,x∈R)，则称R在A上是自反的 （2） 若?x(x∈A→x,x?R)，则称R在A上是反自反的 ;定义7.12 设R为A上的关系， （1） 若?x?y(x,y∈A∧x,y∈R→y,x∈R)，则称R为A上对称的关系。 （2） 若?x?y(x,y∈A∧x,y∈R∧y,x∈R→x=y)，则称R为A上的反对称关系。 ;定义7.13 设R为A上的关系，若 ?x?y?z(x,y,z∈A∧x,y∈R∧y,z∈R
→x,z∈R), 则称R是A上的传递关系。 ;;定理7.9 设R为A上的关系，则 （1） R在A上自反当且仅当IA?R （2） R在A上反自反当且仅当R∩IA= ф （3） R在A上对称当且仅当R=R-1 （4） R在A上反对称当且仅当R∩R-1?IA （5） R在A上传递当且仅当RoR?R ;（2） R在A上反自反当且仅当R∩IA= ф ;（3） R在A上对称当且仅当R=R-1;（4） R在A上反对称当且仅当R∩R-1?IA; （5） R在A上传递当且仅当RoR?R;例7.13 设A是集合，R1和R2是A上的关系，证明： （1） 若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的。 （2） 若R1和R2是传递的，则R1∩R2也是传递的。 ;（2） 由R1和R2的传递性有 R1oR1?R1和R2oR2?R2 再使用定理7.4得 (R1∩R2)o(R1∩R2) ?R1oR1∩R1oR2∩R2oR1∩R2oR2 ?(R1∩R2)∩R1oR2∩R2oR1 (将前面的包含式代入) ?R1∩R2 从而证明了R1∩R2也是A上的传递关系。 ;五种性质在关系矩阵和关系图的特点。 ;例7.14 判断图7.3中关系的性质，并说明理由。;关系的性质和运算之间的联系。
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