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概率论和数理统计 第二章3
§4 随机变量的函数的分布 ; 在许多实际问题中，我们通过实验或测量获得了随机变量X的分布，但有时我们对X的函数g(X)更感兴趣。比如，某厂生产球形钢珠，它的直径d是随机变量。因为V和S是随机变量d的函数，因此，体积V和表面积S也是随机变量。;对于离散型随机变量X，设其分布律为;例 已知X的分布律为;于是Y的分布律; 例 设X的分布律为;对于连续型随机变量X，一般可先求其分布函数，再由分布函数与密度函数的关系获得密度函数：
首先通过例题来讨论函数Y=g(X)其概率密度的计算方法。 ;例 设X的概率密度函数为f(x)，求随机变量Y=X2的概率密度。
解 分别用FX(x)，FY(y)表示X，Y的分布函数，由于Y=X2?0，;定理 设随机变量X具有概率密度fX (x)，?? x ?，又设函数g(x)处处可导，且恒有g?(x)0(或恒有g?(x)0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为;例 设 ;例 设???机变量X ~ N (?, ?2) ，证明X的线性函数Y=aX+b (a?0)也服从正态分布。
证明 因为X的概率密度为;作 业
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