概率论和数理统计 第三章_方差.ppt

方 差; 前面说到评判一批水泥板的质量问题．若它们平均承受力较大，比如1000kg，但其中可能有一部分水泥板的承受力在1800kg以上，而另一部分的承受力不足200kg．这批水泥板的承受力与平均值1000kg的偏离程度较大，质量不稳定、较差，不能被用于建造房屋，否则会发生事故．那么，我们该用什么量去衡量这个偏离程度呢？对于随机变量X，虽然量E{|X?E(X)|}能度量X与其均值E(X)的偏离程度，但它带有绝对值，运算不方便．为了运算方便，通常使用量 ;引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发 子弹击中的环数分别为：;再比较稳定程度;进一步比较平均偏离平均值的程度;定义 设X是随机变量，若E [X ? E(X)]2 存在, 则称其为 X 的方差,记为Var(X ) 或 Var (X) (deviation variance);若 X 为离散型 r.v.，分布律为;例1 设 X 的概率密度如下， 求 Var(X);例2 设 X ~ N ( ?, ? 2), 求 Var( X ); 方差的计算;例3　设随机变量X具有期望E(X)=?，标准差?(X)= ? ，记;标准化变量;例4 设X ~ P (?), 求Var( X ).;解二;例5 设X ~ U(a , b)，求Var(X ).;例6 设X服从参数为?的指数分布 ，求Var(X ).;常见随机变量的方差;分布;1.Var (C) = 0;性质 1 的证明：;性质 3 的证明：;例6 设随机变量X具有概率密度函数 ;又 ;仅知 r.v.的期望与方差并不能确定其分布;例7 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, Var(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数.;得栖邓阳窃年递蔚韵悼见祭墅帽陆缺指遇瑞厉鸟刚赣嘉寓铂茂瞻狈装洲篮概率论和数理统计 第三章_方差概率论和数理统计 第三章_方差;湛畜宛千驳刑舞船散菏刮祟煎遗腋逐柳弱淌挺窿不轿阑雕霹奎彼绳洽壮奉概率论和数理统计 第三章_方差概率论和数理统计 第三章_方差;3.3分位数;定义3.3.1　设X是连续随机变量，0p1．若实数 xp满足 F(xp)=P{X xp}=p;若X~N(?,?2)，如图下所示，阴影部分面积为 ;例3.3.1　设随机变量X的概率密度函数为 ;对于标准正态分布X~N(0,1) ，常用up表示其p分位数．根据其概率密度函数的对称性易知 ? up =u1?p，见下图;下面列出了几个常用的标准正态分布的p分位数up的值． 它的中位数是0．;分位数在实际问题中是常用的．例如，旅客在机场排队领取登机牌??若要求95%的旅客能在15分钟内领到，那么，15就是旅客排队时间（单位为分钟）这一随机变量X的0.95分位数x0.95； 又如，在生产车间机器设备发生故障需要维修，若要求90%的故障在30分钟内完成维修，那么，30就是维修时间（单位为分钟）这一随机变量X的0.90分位数x0.90 ． ; 与数学期望一样，中位数也是描述随机变量的位置特征．在实际中，中位数也常用．例如，假设某一年上海市就业的大学毕业生当年的月薪金的中位数是2100元，这表明上海市该年大学毕业生中有将近半数人月薪金不高于2100元，另外将近半数人月薪金则不低于2100元． 与数学期望相比，中位数总存在，但数学期望不一定存在．这是它的优点．中位数的缺点是，它没有象数学期望那样好的运算性质．;众数 定义 设离散随机变量X 的分布律为 P{X=xk}=pk, k =1, 2, 3, ??. 若存在实数x* , 使得对每个k =1, 2, 3,… , 有 P{X=x }≥P {X=xk }, 则称x* 为X(或X 服从的分布)的众数. (2) 设连续随机变量X 的概率密度函数为f (x), 若存在实数x* , 使得对一切x∈R 有 f(x*)≥f(x), 则称x* 为X(或X 服从的分布)的众数.;作业 P82 习题3.2;例5 设X ~ B( n , p)，求Var(X ).;例5 已知X ,Y 相互独立, 且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ).