概率论与数理统计 复旦大学 课后题答案4.doc

4习题四 1.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【解】(1) (2) (3) 2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差. 【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 1 2 3 4 5 P 故 3.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 P p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3. 【解】因……①, 又……②, ……③ 由①②③联立解得 4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则 5.设随机变量X的概率密度为 f（x）= 求E（X），D（X）. 【解】 故 6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X. 【解】(1) (2) 7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X??2Y），D（2X??3Y）. 【解】(1) (2) 8.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 试确定常数k，并求E（XY）. 【解】因故k=2 . 9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 fX（x）= fY（y）= 求E（XY）. 【解】方法一：先求X与Y的均值 由X与Y的独立性，得 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为 于是 10.设随机变量X，Y的概率密度分别为 fX（x）= fY（y）= 求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）. 【解】 从而(1) (2) 11.设随机变量X的概率密度为 f（x）= 求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）. 【解】(1) 由得. (2) (3) 故 12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）. 【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由此可得 13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为 f（x）= 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元 故 (元). 14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2，i=1，2，…，n，记 ，S2=. （1） 验证=μ， =； （2） 验证S2=； （3） 验证E（S2）=σ2. 【证】(1) (2) 因 故. (3) 因,故 同理因,故. 从而 15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1, 计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）. 【解】 (因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= 试验证X和Y是不相关