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物理资优营微积分教材1.pdf
物理資優營微積分教材１
y = f (x )
(x ,f (x ))
x
x點的切線斜率：
df f(x+ ∆) −f(x)
= lim
dx ∆→0 ∆
若f(x) = xn，n為自然數
n n n−1 2
df (x+ ∆) −x nx ∆+ O (∆ ) n−1
= lim = lim = nx
dx ∆→0 ∆ ∆→0 ∆
•微分的基本性質：
(i)線性：若a,b是常數
d df dg
{af(x) + bg(x)} = a + b
dx dx dx
(ii)萊布尼茲律：
d df dg
{f(x) · g(x)} = g+ f
dx dx dx
(iii)連鎖律：
¯
¯
d df dg
f(g(x)) = ¯ ×
dx dy¯ dx
y=g(x)
由萊布尼茲律可將d α α−1
dx (x ) = αx 推到α是任意整數的情形。
假設n是正整數，令f(x) = x−n
n 0 n ¡ n−1¢
f(x) · x = 1 =⇒ f · x + f nx = 0
0 −1 −n−1
=⇒ f = −nf × x = −nx
1
d α α−1 1 1
由連鎖率可將 (x ) = αx 推廣到α= 。令f(x) = xn
dx n
=⇒ [f(x)]n = x
兩邊微分：
n−1 0
n[f(x)] f (x) = 1
0 1 1−n
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