方程Neumann问题的边界元法 - 重庆大学学报.PDF

． ． 重 庆 建 筑 工 程 学 院 学 报 第12卷第3期 JOURNAL OF CHONGOING INSTITUTE OF Vo1．12 No．3 1990年 9月 ARCHITECTURE AND ENGINEERING Sept． 1990 用双层位势求解三维Helmholtz 方程Neumann问题的边界元法 金 朝 嵩 (基础科学系) 摘 要 本文给出一种三维Helmholtz方程Neumann问题的新的数值解法。 首先村用双层位势推得问题解的积分表达式并导出了一个Fredholm第一类积分方 程。然后证明了迎值问题与积分方程的等价性及积分方程在适当Sobolev空间中解 的存在唯一性。最后建立7与积分方程等价的疫分开j式的有艰元逼近以求近似解， 并进行7误差倍计。 ’ 关键儡 位势，Sobolev空间，边界积分万程，扯微分算子，边界无法 0 前 言 作为简化波动方程的Helmholtz方程，以其深刻的物理背景长期受到人们广泛重视萃Ⅱ深 入研究。Fredholm积分方程理论成熟以后，用古典的边界积分方程法， 即对Dirichlet问 题使用双层位势、对Neumann问题使用单层位势以导出与边值问题等价的第二类Fredholm 边界积分方程并求其近似解，曾是人们很感兴趣的工作。1974年，R．E．Kleimann对此方法 做了很好的总结性工作“)。随后，人们对这种方法又进行了一些改造，例如提出了零场法 (The null field method)及修正Green函数 ．(The modified Green functions)的思 想{：)，但仍画于第二类Fredholm积分方程的范围。本文所用的方法与之不同。对Dirichlet问 题使用单层位势、对于Neumann问题使用双层位势以得到与边值问题等价的第～类Fred— ■】■曩 holm边界积分方程。这里的积分算子是拟微分算子，因此用拟微分算子理论去研究积分方 程解的适定性，然后用降一维的有限元方法去寻求数值解。利用这种新的方法，J．Giroi re对 三维Helmholtz方程的Dirichlet问题进行了讨论 }，但他对于Neumann问题仍沿用旧 的方法处理 本文用新的方法处理三维Helmho1 cz方程的Neumann问题 首先利用双层位 势推得同时适合外问题和内问题的解的积分表达式，并导出了联系边值条件和未知函数在边 界上的跳跃量的第一类边界积分方程，并证明了边值问题与积分方程的等价性及积分方程在 #文l988年B月l3H啦到． 第3期 金朝嵩 用双层位势求解三维Helmholtz方程Neumann问题的边界元法 31 ●呵-I _ 适当Sobolev空问中解的存在唯一性，最后给出一种建立与积分方程等价的变分形式的有限 元逼近的方法以寻求原问题的近似解，并进行了误差估计。 1 边值问题及与之等价的边界积分方程 设0是R。中有界开区域，r是其充分光猾的边界，，0 是百的余集。用 表r的外法 向量。r是R。中任意一点到原点的距离。用 ]表R。中的函数u穿越r的眺跃量t Iv] =u 考虑下列He1mho1tz方程的Neumann内I司翘相外I叫越l ， 求函数“使褂 (N内){△“十十 。，在0中 l等i =s ，求函数“使得 l dw+ “=O，在0 1{】 c {等lr s l 埘“) o 这里“是数值函数，k是复数且满足J k0。条件 ，lira ，(_鲁 一 )=0被称为辐射条件， 当视