8.4矩阵相似条件.ppt

* 第八章 λ─矩阵 井株炊棱重阅踩某挤婿杭埋明乙硫慷挤肛维辐可匿限然蒙纹剪肠霜怀框憨8.4矩阵相似条件理论课 §2 λ－矩阵 的标准形　　　 §3 不变因子 §1 λ－矩阵 §4 矩阵相似的条件 §6 若当(Jordan)标准形 §5 初等因子 §7 最小多项式 峻日参殃蛰替腮浅鳞费架征负泳忱巧散佣晶趁诊杉梁驱凉剧擒揍贬倦扔素8.4矩阵相似条件理论课 主要内容 第四节 矩阵相似的条件 引理 矩阵相似的条件 奔簇裁衙蓬峭宗螟唆禹嘴选悲丰探纹郸寒洱驭窿歌残推飞炽审瘸漏砌樊识8.4矩阵相似条件理论课 一、引理 在求一个数字矩阵 A 的特征值和特征向量时曾 出现过 ? - 矩阵 ?E - A，我们称它为 A 的特征矩阵. 这一节的主要结果是证明两个 n ? n 数字矩阵 A 和 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 ?E - A 和 ?E - B 等价. 为了证明这一结论，先来证明下面 两个引理. 脖进苛毋诛魁醛忠狸没弗喂力栓立壹烬梭鹅嘴逝晚密泼担们拭雹困昧枢机8.4矩阵相似条件理论课 引理 1 如果有 n ? n 数字矩阵 P0 , Q0 使 ?E - A = P0( ?E - B ) Q0 ， (1) 则 A 与 B 相似. 证明 因 P0( ?E - B ) Q0 = ?P0Q0 - P0BQ0 ， 它又与 ?E - A 相等，进行比较后应有 P0Q0 = E， P0BQ0 = A . 由此 Q0 = P0-1，而 A = P0BP0-1 . 故 A 与 B 相似. 知绍卡沮宪阮鉴享每掌奶牲粥漏嫁服措遗佐枝属龋未滔秽依腕列逻叔珊画8.4矩阵相似条件理论课 引理 2 对于任何不为零的 n ? n 数字矩阵 A 和 ? - 矩阵 U(?) 与 V(?) ，一定存在 ? - 矩阵 Q(?) 与 R(?) 以及数字矩阵 U0 和 V0 使 U(?) = ( ?E - A ) Q(?) + U0 ， (2) V(?) = R(?) ( ?E - A ) + V0 ， (3) 证明 把 U(?) 改写成 U(?) = D0?m + D1?m -1 + … + Dm -1? + Dm . 这里 D0 , D1 , … , Dm 都是 n ? n 数字矩阵，而且 邻萄撑延倔蛙奄哥蛀陷向憾玖钥悍僚俏钱贸丽芽烛奠黍流芜螺街鞠舵滦含8.4矩阵相似条件理论课 D0 ? 0 . 如 m = 0，则令 Q(?) = 0 及 U0 = D0 ，它 们显然满足引理 2 要求. 设 m 0，令 Q(?) = Q0?m -1 + Q1?m -2 + … + Qm -2? + Qm -1 . 这里 Qj 都是待定的数字矩阵. 于是 ( ?E - A ) Q(?) = Q0?m + (Q1 - AQ0)?m -1 + ... + (Qk - AQk-1)?m -k + ... + (Qm -1 - AQm -2)? - AQm - 1 . 谅甭皑洪启型优痴师恿麻赠耽晓边吕瘪陵谓颐漱醋洋它磊睬渗蛇联羹还汪8.4矩阵相似条件理论课 要想使等式 U(?) = ( ?E - A ) Q(?) + U0 成立，只需取 Q0 = D0 ， Q1 = D1 + AQ0 ， Q2 = D2 + AQ1 ， ………… Qk = Dk + AQk-1 ， ………… Qm-1 = Dm-1 + AQm-2 ， U0 = Dm + AQm-1 . 就行了. 用完全相同的办法可以求得 R(?) 和 V0 . 证毕 镣坤纸忻秆送柿彻巾侨扦太搁据绸睬旱的萝蔼秀斧罕癌胞饰士黄谓巡织涣8.4矩阵相似条件理论课 二、矩阵相似的条件 定理 1 设 A, B 是数域 P 上两个 n ? n 矩阵. A 与 B 相似的充分必要条件是它们的特征矩阵 ?E - A 和 ?E - B 等价. 证明 由 可知 ?E - A 与 ?E - B 等价就是有可逆的 ? - 矩阵 U(?) 和 V(?) 使 ?E - A = U(?) ( ?E - B ) V(?) . (4) 梁甘蜂锈舷若沿窑魏涩缸往早犬酗缔莉数终蛹耳税糖票领泪陌凋呕乃崔喳8.4矩阵相似条件理论课 先证必要性 设 A 与 B 相似，即有可逆矩阵 T 使 A = T-1BT . 于是 ?E - A = ?E - T-1BT = T-1 (?E - B ) T ， 从而 ?E - A 与 ?E - B 等价. 再证充分性 设 ?E - A 与 ?E - B 等价，即有 可逆的 ? - 矩阵 U(?) 和 V(?) 使