第三章插值方法与曲线拟合.PDF

第三章 插值方法与曲线拟合 问题背景 • 3.1 引言 实际问题中经常要涉及到函数值的计算问题： • 3.2 插值方法 （1 ）如果函数表达式本身比较复杂，且需要多 – 3.2.1 拉格朗日（Lagrange ）插值 次重复计算时，计算量会很大，如y =lgx ； – 3.2.2 分段插值方法 （2 ）有的函数甚至没有表达式，只是一种表格 – 3.2.3 牛顿（Newton ）插值法 函数，而我们需要的函数值可能不在该表格中。 • 3.3 曲线拟合 – 3.3.1 直线拟合 对于这两种情况，我们都需要寻找一个计 算方便且表达简单的函数来近似代替，这就是 – 3.3.2 多项式曲线拟合 数值逼近（插值）问题。 例 已经测得在某处海洋不同深度处的水温如下： 数值逼近方法 深度（m ） 466 741 950 1422 1634 x 水温（oC）7.04 4.28 3.40 2.54 2.13 y=f (x) g (x) —— 称为逼近函数(代数多项式、三角多 根据这些数据，希望合理地估计出其它深 项式、有理函数或样条函数) ； 度（如500米，600米，1000米…）处的水温。 f (x) —— 称为被逼近函数 解决思路： 根据已知点的值，构造一个比较简单的函 如何构造逼近函数g(x) ？ 数 g (x) 去逼近或近似替代函数f (x) ，然后计 算 g (x)在[a, b] 上点 x* 处的函数值作为原来函 插值法和曲线拟合法 数f (x)在此点函数值的近似值。 这就是本章要讨论主要内容。 —— 数值逼近方法 插值问题的定义 g (x ) =f (x ) (j = 0, … m) g(x) 当精确函数y = f (x) 非常复杂或未知时，在区 j j 间[a,b]上一系列节点 x0 … xm 处测得函数值y 0 = f (x) f (x0), …, y m = f (xm)，由此构造一个简单易算的 近似函数g (x) f (x) ，满足条件: g (x ) =f (x ) (j = 0, … m) (*) j j 这个问题称为“插值问题” 这里的g (x) 称为f (x) 的插值函数; 节点 x0 … xm称为插值节点; x x