Maple在高阶偏微分值求解问题上的应用 - 2012 彰云嘉大学校院联盟.PDF

2012 彰雲嘉大學校院聯盟學術研討會 101.12.07 Maple在高階偏微分值求解問題上的應用 余啟輝 南榮技術學院通識教育中心 台南市鹽水區朝琴路178 號 E-mail ：chiihuei@.tw 摘要 本篇論文是利用數學軟體Maple做為輔助工具來研究某種多變數函數的高階偏微分值求解問題。我們 利用二項級數定理和逐項微分定理可以得到此種多變數函數的任意階偏導函數 ，因此大大降低了求解它 們高階偏微分值的困難度。另一方面 ，我們舉出兩個多變數函數實際的計算它們的高階偏微分值，而這 些高階偏微分值的答案都是以無窮級數的型式呈現的 。我們採取的研究方式是先用手算把答案求出來， 然後利用Maple驗證結果。這種方式不僅可以讓我們發現演算錯誤的地方，還可以幫助我們修正原先思考 的方向，因為我們可以從手算和Maple計算兩者的一致性驗證我們理論的正確性。因此Maple 可以帶給我 們解題的靈感以及指引我們找到解決問題的方法。 關鍵字 ：高階偏微分值、二項級數定理、逐項微分定理、無窮級數 、Maple 。 1. 前言 電腦代數系統(Computer Algebra System ，簡稱CAS)已經廣泛應用在數學和科學的研究上，藉由電腦 的快速運算與美麗親和的圖形介面，讓數學和科學的研究增加了無限的想像力。而數學軟體Maple可以說 是CAS領域裡的翹楚，它在數學運算系統中佔有舉足輕重的地位。Maple這套軟體的優越性在於它的指令 簡單而且容易學習，可以讓從事數學和科學研究的人省去許多學習電腦程式語言的時間，將大部分的精 神投入問題的研究上。另一方面透過Maple的數值和符號運算，將思考邏輯轉換成一系列的指令，經由 Maple的運算結果來修正先前推論和思考的方向，形成一種反饋。因為這種反饋是直接而具建設性的，因 此可以增進我們對問題的了解以及培養研究的興趣。想要對Maple更進一步的認識，可以經由Maple所提 供的線上求助系統來查詢，或者前往Maple的網站參觀瀏覽，相信會有許多意想不到的 收穫;至於Maple的一些指令和使用方法的說明，可以參考(洪維恩，2000 200 1﹔Abell Braselton, 2005 ﹔ Corless, 1994 ﹔Garvan, 2001 ﹔Heck, 2003 ﹔Richards, 2002) 。 在微積分和工程數學的課程裡有關多變數函數的偏微分計算是一項重要的課題 ，有關這方面的書籍 可以參閱(Griewank Walther, 2008 ﹔Lang, 1983 ﹔Widder, 1961) ，論文可以參考(Bischof, Corliss Griewank, 1993 ﹔Fraenkel, 1978﹔Hardy, 2006 ﹔Ma, 2009 ﹔Richard, 1992) 。本篇文章主要是研究 變數函 n n qi ∏xi 數f (x ,x ,⋅⋅⋅,x ) i 1 的高階偏微分值求解問題(其中 為實數， 為正整數且 都是非 1 2 n a m,n p i , qi m  n  ∏xip i +a  i 1  負整數 ，對所有i 1,..., n ) ，我們利用二項級數定理(