DVD在线租赁问题的数学模型和计算.PDF

维普资讯 第22卷第2期 常熟理工学院学报 (自然科学) V01．22No．2 2008年 2月 Feb．，2008 JournalofChangshuInstituteofTechnology(NaturalSciences) DVD在线租赁问题的数学模型和计算 张 立 (常熟理工学院 数学系，江苏 常熟 215500) 摘 要：以2005年全 国大学生数学建模竞赛D题 “DVD在线租赁”为背景，对 DVD的租赁与归 还，网方的购买与分配以及需求预测等问题进行了研究，建立 了适合实际问题的数学模型并得到了 相应的结果． 关键词 ：租赁；整数规划 ；优化 中图分类号：0224 文献标识码 ：A 文章编号：1008—2794(2008)02—0036—05 1 问题的背景和分析 随着社会经济的快速发展，汽车租赁、滑雪橇租赁等各种租赁服务在生活中不断涌现 ．于是在2005年 的全国大学生数学建模竞赛中，组委会出了 “DVD在线租赁”问题．这个问题的解决不仅要求学生具有 良好 的数学建模的基本知识，而且要求学生具有较强的编程计算能力． 首先，对网站的运行模式有这样两种理解 ：第一种模式为网站的会员可以随时提交订单，每天网站将订 单信息和现有的DVD信息汇总，然后进行相应的分配，不在会员订单中的DVD也有可能分配给会员，而且 会员一次得到 3张DVD．不会将任何客户订单推迟到第二天处理，会员会在较短的时间内得到DVD．第二种 模式是网站的会员可以随时提交订单，每天网站将订单按照顾客提交时间进行排序，并将其订单信息和现有 的DVD信息汇总，然后进行相应的分配，使得排在前面的会员优先满足其需要．当天不能满足的会员和没有 被分派的汇人第二天，并在第二天排序时排在最前面．在本文中，重点考虑第一种模式．其次，考虑到客户提 交订单、网站分配等各种因素的随机性，该流通问题是十分复杂的，本文考虑 DVD的需求上限．同时，对于满 意度这个问题，本文认为满意度主要受到会员等待时间和个人对 DVD的喜欢程度的影响．满意度的数量表 示有一定的主观因素，在本文中有详细的说明． 2 模型的假设和符号表示 基本假设如下： 1．对于调查问卷中1000人和所有会员的选择情况是同分布的，也就是说，这 1000人的选择情况代表 了所有 100000会员的选择倾向性． 2．所有会员提交订单的时间是随机的． 收稿 日期 ：2007—10—08 作者简介：张 立(1974一)，男，江苏武进人，常熟理工学院数学系讲师，硕士 ，研究方向：优化和数学建模 维普资讯 第2期 张 立 ：DVD在线租赁问题的数学模型和计算 37 3．客户提交订单应该注明自己的租借类型：该月内一次或者两次． 4．对于租借一次或者两次的会员 ，该会员必须在 30天内归还所借的DVD． 符号和变量说明如下： 1．N：网站现有的会员人数． ． 2．P：第 i种 DVD被选 中的概率(i=1，2，3，4，5)；g：第 i种 DVD没有选中的概率 (i=1，2，3，4，5)． 3．A ：每月租借DVD一次的会员的比例；A：：每月租借DVD两次的会员的比例． 4．b：第 i种 DVD应该准备的数量(i=1，2，3，4，5)． 5． ．：一个月内对第 i种 DVD有需求的会员得到满足的比例 (i=1，2，3，4，5)． 6．ED：DVD每月可用次数的数学期望． 7．Q，：一个月内对第 i种需求的人数上限(i=1，2，3，4，5)． 8． 第 i个会员是否得到第门砷DVD的表示．当 =1时，表示得到；当 =0时，表示没有得到(i= 1，