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( 量子力学复习题 ( 量子力学常用积分公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) () (8) (a0) (正偶数) (9) = (正奇数) () (10) () (11)) () (12) (13) (14) (15) (16) () () 一、简答题 1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 2. 简并、简并度。 3. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在立体角中被测到的几率。 4. 用球坐标表示，粒子波函数表为 ，写出粒子在球壳中被测到的几率。 5. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。 6. 写出一维谐振子的归一化波函数和能级表达式。 7. 写出三维无限深势阱 中粒子的能级和波函数。 8. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 9. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。 10. 写出在表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12. 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系： 15. 、分别为电子的自旋和轨道角动量，为电子的总角动量。证明：，[]=0，其中。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ， 准确叙述 及 分别表示什么样的物理意义。 17. 二电子体系中，总自旋 ，写出（）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 18. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？ 19. 给出一维谐振子升、降算符的对易关系式；粒子数算符与的关系；哈密顿量用或表示的式子；（亦即）的归一化本征态。 20. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有哪两种表象？它们的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应的本征值又是什么？ 21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开： ， 写出展开式系数的表达式。 24. 一维运动中，哈密顿量 ，求 25. 什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 26. 什么样的状态是定态，其性质是什么？ 27. 简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关系。 28. 厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？ 29. 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。 二、计算题 （一）.已知厄密算符，满足，且，求 1、在A表象中算符、的矩阵表示； 2、在B表象中算符的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。 （二）. 设氢原子在时处于状态 ，求 1、时氢原子的、和的取值几率和平均值； 2、时体系的波函数，并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。 （三）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出 这里，，是一个常数，，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。 （四）、令，，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？ （五）、线性谐振子在时处于状态 ，其中，求 1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值 （六）、当为一小量时，利用微扰论求矩阵 的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。 （七）、一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成? （八）、粒子在一维势场中运动,证明:属于不同能级的束缚态波函数互相正交。(设、分别属于能级、的束缚态波函数，由于是一维束缚态，、都是实函数，故只需证明) （九）、已知二阶矩阵、满足：，，，在表象中，求出矩阵、。 （十）、在表象中，求自旋算符在方向投影算符的本征值和相应的本征态。 （十一）、用做尝试波函数，用变分法求谐振子的基态能量。 （十二）、 一电荷为的线性谐振子受恒定电场作用，电场沿正方向。用微扰法求体系的定态能量和波函数。 （十三）、 （1）力学量算符满足最简单的代数方程为，其中、、…为常数，试证明有个本征值，它们都是方程的根