4-2极限的运算法则.ppt

第四讲(二) 三、 极限的四则运算法则（p20） 证 *(3) 若 一般地， 设有分式函数 结论： 例5 例6 2° 定理的其他形式 例7 求 内容小结 备用题例3-1 例3-2 例4-2 例5-1 例6-1 例7-1 例7-2 已知 试确定常数 解 ∵ ∴ 分子的次数必比分母的次数低 故 即 解 无穷多个因子的积的极限 变为有限项再求极限 三、 极限的四则运算法则 四、 复合函数的极限运算法则 极限运算法则 第一章 则 定理 若 (1) (2) 若 B≠0 , 则有 (3) 时, 有 取 则当 时,有 当 (1)由 可知 使得当 时,有 因此 *(2) 使得 由 及 定理1.2? 知， 及 及 有 又由 知, 使得当 取 则 对于上述 ? 0, 有 / 2C 因此 时, 有 当 令 由于 根据（2），只需证明当 使得当 时, 有 （极限的定义） （函数极限保号性的更强结论） 于是 从而 因此 从而(3)式成立. 则有 注 运算法则 , 有相应的结论 . 及 x→∞时函数极限的四则 例如, 对于数列极限, 对于数列极限 有以下结论: 数列是一种 特殊的函数, 故此结论可 由定理1.5直 接得出 . (极限运算的线性性质) 若 以上运算法则对有限个函数成立. 推论 ? 和μ是常数， 则 于是有 —— 幂的极限等于极限的幂 求 解 例1 极限运算的线性性质 结论： 幂的极限等于极限的幂 解 例2 商的极限等于极限的商 其中 都是多项式 , 注 若 不能直接用商的运算法则 . 请看下例: 结论： 解 商的极限法则不能直接用 例3 由极限定义x→1，x≠1, 约去零因子法 “ 抓大头” 分析 可以先用 x3 同时去除分子和分母, 然后再取极限. 例4 解 为非负常数 ) 对于 母中自变量的最高次幂（抓大头）, 然后再求极限. 的极限，可以先给分子、分母同除以分 解 分析 型，先通分，再用极限法则. 解 无穷多项和的极限 公式求和变为有限项 定理 设 当 时, 又 则有 *证 ① 对上述 四、 复合函数的极限运算法则 当 时, 有 取 则 故 因此①式成立. 时 当 则有 注 1° 定理中的条件： 不可少. 否则，定理的结论不一定成立. 由定理知， 在求复合函数极限时, 可以作变量代换，得到 且代换是双向的，即 解 令 于是 从而 原式 = 从左向右用①式 ① 1. 极限运算法则 (1) 极限四则运算法则 (2) 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2. 求函数极限的方法 (1) 分式函数极限求法 时, 用代入法 ( 分母不为 0 ) 时, 对 型 , 约去零因子 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头” (2) 复合函数极限求法： 设中间变量，变量代换. 或先有理化后约分 1.在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 (1) 是否一定不存在？为什么? 思考题 2. (2)若 是否一定 不存在？ 答： 一定不存在． 由极限运算法则可知： 必存在， 这与已知矛盾， 故假设错误． 思考题解答 (1) 是否一定不存在？为什么? 1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 答： 一定不存在.（可用反证法证明） (2) 若 是否一定不存在？ 1. 在自变量的某个极限过程中，若 存在， 不存在，那么 2. 解 原式 解 先有理化 再约去无穷小 解 解 可以先用 同时去除分子和分母,然后再取极限. 例4-1 解 根据前一极限式可令 再利用后一极限式 , 得 可见 是多项式 , 且 求 故