必修4-第三章-简单的三角恒等变换.doc

第三章 三角恒等变换 要点梳理 1． 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ　(Sα－β)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ　(Sα＋β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sin αsin β　(Cα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ　(Cα＋β) tan(α－β)＝　(Tα－β)tan(α＋β)＝　(Tα＋β) 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等． ； 2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sinα cosα；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan 2α＝. 二倍角公式的变形： 降幂公式： ；； 升幂公式：； 半角公式： ；；. 配方变形： 或 因式分解变形： 万能公式：； （万能公式的应用：若已知的值可以利用此公式迅速求出；若已知以及角的范围可迅速求出） 辅助角公式——形如asin x＋bcos xφ变形为sin(α＋φ)或cos(α＋φ)，其中φ由a，b的值唯一确定asin x＋bcos xsin·cos=[sin(+)+sin(-)] ②cos·cos=[cos(+)+cos(-)] ③sin·sin= -[cos(+)-cos(-)] （2）和差化积公式 ①sin+sin= ②sin-sin= ③cos+cos= ④cos-cos= - 【只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 求值：[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·. 原式＝·sin 80°＝×cos 10° ＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝2sin(50°＋10°)＝2×＝. 题型二、给值求角/值 1、解决给值求角/值问题的关键是寻求“已知角”与“所求角”之间的关系，用“已知角”表示“所求角”。 已知角为两个时，所求角一般表示为已知角的和与差（详见要点梳理4:常见角的代换） 已知角为一个时，所求角一般与已知角成“倍关系”或“互余、互补关系” 2、求有关角的三角函数值时，要特别注意角的范围，准确判断三角函数符号 3、求角问题中，往往通过求角的某种三角函数值来求解，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；②若角的范围是 例3：已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0βα，求β. 解∵0βα，∴0α－β.∴sin α＝＝，sin(α－β)＝＝， ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝×＋×＝.∵0β，∴β＝. 已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)． A．－ B. C．－ D. cos＋sin α＝sin α＋cos α＝sin＝，sin＝－sin＝－. 已知cos ＝，α，则cosα＝________. 解析：sin ＝.cosα＝cos [－]＝cos cos＋sin sin＝. 方法二：∵cos ＝cosα＝. 4、已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，则的值为_______． 解析　由sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－， 得sin αcos β＝，cos αsin β＝，所以＝＝. 已知sin＝，且x，求. sin＝① 又∵x∈，② ∴＝＝－ ①，，② 7、已知非零常数a,b满足，求 ，易得 或 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (2011·辽宁)设sin(＋θ)＝，则sin 2θ 解析　sin(＋θ)＝(sin θ＋cos θ)＝，将上式两边平方，得(1＋sin 2θ)＝，∴sin 2θ＝－. sin(2θ)=sin[2(＋θ－＋θ－ ②(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α解析　方法一∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝，∴2sin αcos α＝－，即sin 2α＝－. 又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝0，∴2kπ＋α2kπ＋π(k∈Z)，∴4kπ＋π2α4kπ＋π(k∈Z)， ∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－＝－. sin α±cos α形式，经常通过将式子平方来求出 2α的正余弦值 ③(201