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重积分的对称性与轮换对称性
made by 微电四班
郭予健 李尚栋 范兴勇
对称性
对于二重积分
的计算,我们总是将其化为二次定积分来完成的,而在定积分的计算中,若遇到对称区间,则有下面非常简洁的结论:
当f(x)在区间上为连续的奇函数时,
当f(x)在区间上为连续的偶函数时,
这个结论,常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分.
在计算二重积分时,若积分区域具有某种对称性,是否也有相应的结论呢?回答是肯定的。下面,我们将此结论类似地推广到二重积分
解:
积分区域D关于坐标区域内任意直线对称
如果积分域D关于直线y=ax+b对称,则二重积分
其中D1为D在以直线y=ax+b为轴的右半平面部分
证明:若区域D对称于直线y=ax+b,不妨设a0,即倾斜角为锐角.首先,平移坐标轴,得坐标系xoy如上图
即
其次,将坐标系xoy沿逆时针方向旋转,旋转角为 (tan =a)使x轴与直线y=ax+b重合.得新坐标系uov
雅可比行列式为:
即证
解:由于积分区域D关于直线x=1对称,
被积函数 在区域D上关于(x-1)为奇函数
y在区域D上关于(x-1)为偶函数
补充:利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意:
1、积分区域关于坐标面的对称性;
2、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的
奇偶性.
轮换对称性
其中D是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧
解:因为积分曲面D关于x,y,z具有轮换对称性,所以
=
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