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专题四第2讲知能演练轻松闯关
1.(2012·山西四校联考)
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD=AD=a,点E是SD上的点,且DE=λa(0λ≤1).
(1)求证:对任意的λ(0,1],都有ACBE;
(2)若二面角C-AE-D的大小为60°,求λ的值.
解:(1)证明:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),D(0,0,0),E(0,0,λa),
=(-a,a,0),=(-a,-a,λa),
·=0对任意λ(0,1]都成立,
即对任意的λ(0,1],都有ACBE.
(2)显然n=(0,1,0)是平面ADE的一个法向量,
设平面ACE的法向量为m=(x,y,z),
=(-a,a,0),=(-a,0,λa),
,即,,
令z=1,则x=y=λ,m=(λ,λ,1),
二面角C-AE-D的大小为60°,
cos〈n,m〉===,
λ∈(0,1],λ=.
2.(2012·长春调研)
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,ADBC,ABC=90°,PD平面ABCD,AD=1,AB=,BC=4.
(1)求证:BDPC;
(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小;
(3)设点E在棱PC上,=λ,若DE平面PAB,求λ的值.
解:如图,在平面ABCD内过点D作直线DFAB,交BC于点F,以D为坐标原点,DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,,0),D(0,0,0),C(-3,,0).
(1)证明:设PD=a,则P(0,0,a),=(-1,-,0),=(-3,,-a),
·=3-3=0,
BD⊥PC.
(2)由(1)及PD平面ABCD易知BD平面PDC,则就是平面PDC的一个法向量.
=(0,,0),=(1,,0).
设AB与平面PDC所成的角的大小为θ,
则sinθ===.
0°θ90°,θ=60°,
即直线AB与平面PDC所成的角的大小为60°.
(3)由题意知,=(0,,0),=(0,0,a),=(1,0,-a),=(-3,,-a),
=λ,=(-3λ,λ,-aλ),
=+=(0,0,a)+(-3λ,λ,-aλ)
=(-3λ,λ,a-aλ).
设n=(x,y,z)为平面PAB的法向量,
则,即.
令z=1,得x=a,n=(a,0,1).
DE∥平面PAB,·n=0,
-3aλ+a-aλ=0,即a(1-4λ)=0,
a≠0,λ=.
3.
(2012·郑州质量预测)如图,在四棱锥S-ABCD中,ABAD,ABCD,CD=3AB=3,平面SAD平面ABCD,E是线段AD上一点,AE=ED=,SEAD.
(1)证明:平面SBE平面SEC;
(2)若SE=1,求直线CE与平面SBC所成角的正弦值.
解:(1)证明:平面SAD平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SE平面SAD,SEAD,
SE⊥平面ABCD,
BE?平面ABCD,SE⊥BE.
∵AB⊥AD,ABCD,CD=3AB=3,AE=ED=,
AEB=30°,CED=60°.
BEC=90°,即BECE.
又SE∩CE=E,BE⊥平面SEC,
BE?平面SBE,
平面SBE平面SEC.
(2)由(1)知,直线ES,EB,EC两两垂直.
如图,以E为原点,EB为x轴,EC为y轴,ES为z轴,建立空间直角坐标系.
则E(0,0,0),C(0,2,0),S(0,0,1),B(2,0,0),
=(0,-2,0),=(2,-2,0),=(0,-2,1).
设平面SBC的法向量为n=(x,y,z),
则,即,
令y=1,得x=,z=2.
平面SBC的一个法向量为n=(,1,2).
设直线CE与平面SBC所成角的大小为θ,
则sinθ=||=,
直线CE与平面SBC所成角的正弦值为.
4.(2012·高考江西卷)
在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.
(1)证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE平面BB1C1C,并求出AE的长;
(2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.
解:(1)证明:连接AO,在AOA1中,作OEAA1于点E.因为AA1BB1,得OEBB1.
因为A1O平面ABC,所以A1OBC.
因为AB=AC,OB=OC,得AOBC,
所以BC平面AA1O,所以BCOE,
所以OE平面BB1C1C.
又AO= =1,AA1=,
得AE==.
(2)如图,分别以OA,OB,OA1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),A1(0,0,2),B1(-1,2,2),
由=得点E的坐标是(,0,),
由(1)得平面BB1C1
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