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2005年(宇振杯)上海市初中数学竞赛试卷 （2005年12月11日 上午9：00——11：00） 题号 一 二 三 四 总分 得分 评卷 复核 解答本试卷不得使用计算器 一、填空题：（本大题10小题，前5题每题8分，后5题每题10分，共90分） 1．在小于100的正整数n中，能使分数化为十进制有限小数的n的所有可能值是 。 2．将数码1，2，3，4，5，6，7，8，9按某种次序写成一个九位数： ，则A的最大可能值是 。 3．如果一个两位数与三位数的积是29400，那么X+Y+Z= 。 4．已知a，b，x，y都为实数，且，则 的值为 。 5．如图：△OAB的顶点O（0，0），A（2，1），B（10，1），直线CDX轴，并且把△OAB面积二等分，若点D的坐标为（x，0），则x的值是 。 6．如果两个一元二次方程分别有两个不相同的实根，但其中有一个公共的实根，那么实根的大小范围是 。 7．如图：在梯形ABCD中，AB∥DC，DC=2AB=2AD， 若BD=6，BC=4，则SABCD= 。 （SABCD表示四边形ABCD的面积，下同） 8．如图，中，点M、N分别是边BC、DC的中点，AN=1，AM=2，且∠MAN=60°，则AB的长是 。 9．如图：△ABC中，点E、F分别在这AB、AC上，EF∥BC，若S△ABC=1，S△AEF=2S△EBC，则S△CEF= 。 10．设P为质数，且使关于x的方程x2－px－580p=0有两个整数根， 则p的值为 。 二、（本题20分） 已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形A’B’C’D’，使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？证明你的结认论。 三、（本题20分） 已知a、b、c都是大于3的质数，且。 （1）求证：存在正整数n1，使所有满足题设的三个质数a、b、c的和a+b+c都能被n整除； （2）求上一小题中n的最大值。 四、（本题20分） 如图：在Rt△ABC中，CACB，∠C=90°，CDEF、KLMN是△ABC的两个内接正方形，已知SCDEF=441，SKLMN=440，求△ABC的三边长。 2005年（宇振杯）上海市初中数学竞赛参考解答 填空题 1、6，31； 2、4648； 3、18； 4、5； 5、； 6、 7、18； 8、 9、 10、29 二、设矩形A’B’C’D’的相邻两边长为m、n，则按题意有m+n=,，因此m、n是二次方程的两正根。 ∵ ∴上述二次方程有两正根的条件是 即 ∴当时，满足条件的矩形A’B’C’D’存在；当时，满足条件的矩形A’B’C’D’不存在。 三、（1）∵c=2a+5b， ∴a+b+c=3a+6b=3(a+2b) 又a、b、c都是大于3的质数，故引(a+b+c)， 即存在正整数n1(例如n=3)，使 （2）∵a、b、c都是大于3的质数 ∴a、b、c都不是3的倍数 若，例 ，这与C不是3的倍数矛盾 同理，，也将导致矛盾 因此，只能， 于是 当为质数，a+b+c=99=9×11； 当为质数，a+b+c=135=9×15； ∴在所有中，最大为9 四、论正方形CDEF的边长为x，正方形KLMN的边长为y， 则按题设x=21，y=，设BC=a，CA=b，AB=c，则a2+b2=c2 注意到 ∴……① 又由△AKL∽△ABC得AL= 同理，MB= 故 ……② 于是 将它代入②式，可得 进而 于是a、b是二次方程的两根 ∵ba ∴，