关于算子方程AXB=C的实正解的一个注记.pdfVIP

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关于算子方程AXB=C的实正解的一个注记.pdf

第37卷第5期 上海师范大学学报 (自然科学版) V01.37.No.5 JournalofShanghaiNormalUniversity(NaturalSciences) 2008 ,Oct. A noteon therealpositivesolutionsofthe operatorequationAXB =C ZHANGXiao—bo,SHENGLi—juan,XUQing-xiang (CollegeofMathematicsandSciences,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234,China) Abstract:WestudytherealpositivesolutionsoftheHilbeaspaceoperatorequationAXB = C.Inthecasethat bothAnadBarepositive.anecessaryandsufficientconditionfortheexistenceofarealpositivesolutionofsuchane‘ quationisderived.A generalizationoftherecentworkofCqetkovid一11i6isobtained· Keywords:Hilbertspace;operatorequation;realpositivesolution CLCnumber:0177.5 Docmu entcode:A ArticleID:1000-5137(2008)05-0454-05 l Introduction LetHandKbetwoHilbertspacesand H,K bethesetofallboundedlinearoperatorsfromH intoK. ForanyA∈ H,K),thesymbolsA ,R(A)andN(A)willstandfortheconjugateoperator,therange andthenullspaceofArespectively.RecallthattheoperatorAissaidtoberegularifhtereexistsaB ∈ K, )suchthatBAB=B.WhenH=K,weusenotation H)insteadof H,H).Let H)bethesetof thepositiveelementsof H).AnelementXof H)willbewrittenasX≥0. LetA∈ H,K)andA—denoteany{1}一inverseofAwhichsatisfiesAXA=A.TheMoore—Penrose inverseA is山euniqueelementof K,日)whichsatisfies AA A=A,A AA =A ,(AA’)’=AA ,(A A)’=A A. ItisknownthattheMoore—PenroseinverseA existsifandonlyifR(A)isclosed[1],orequivalently,Ais reuglar[4]. Inhtefinite.dimensionalcase,therearemanyresults[2],[3],[6],[7],[9]concerningthesolu— tionsofthefollowingequation AXB=C, (1.1) whereA.B.Careknownmatrices,whereasXisunknown.AsolutionXoftheequation(1.1)issaidtobeRe— nndorrealpositiveifX+X ≥ 0.InhtespecialcasethatAandBareboht non

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