Riccati方程的可积性判据.pdfVIP

第 29卷 第2期 华 侨 大学 学 报 (自然 科 学 版 ) V0I_29 No．2 2008年4月 Journal of Huaqiao University(Natural Science) Apr．2008 文章编号： 1000—5013(2008)02—0312—03 Riccati方程的可积性判据 伍锦棠，罗明福 (华侨大学数学科学学院，福建泉州 362021) 摘要： 研究黎卡提(Riccati)方程Y 一p(x)y +g(z) +r(z)的可积性判据．通过找出p(z)，g(z)，r(z)间满 足的一些关系式，找到方程可积的充分条件，并给出方程通解的积分表达式．最后，通过实例进行验证． 关键词： Riccati方程；通解；充分条件；可积性判据 中图分类号： 0 241．8 文献标识码： A Riccati型方程y 一p( ) +q( ) +r( )在一般情况下是不可积的．1841年，数学家Liouville证 明最简单的一阶线性微分方程Y 一 + 是不可积的．这是p( )一1，q( )=0，r( )一 时Riccati 型方程的特殊情况．本文在文[1—5]的基础上，通过引入新的变量，经过一系列的变换，将Riccati型方程 变换为变量可分离方程或伯努利(Bernoulli)方程后进行求解． 1 主要结果 为方使起见，除特别标准外，文中P，q，r，z，U郡是 的．-I微函数，即 P( )，q( )，r( )，z( )，U( )， 而“J’”表示被积函数的任一个确定的原函数． 定理1 若函数P，q，r满足条件rip=一(exp(』qdx)) ，则Riccati型方程可积，且通积分为 一 [exp(fq (1+cexp(2j’pexpj’ ]／[1一cexp(2j’pexpj’qd ]． 定理2 若函数P，q，r满足rip=一exp(2Iqdx)，则Riccati型方程可积且通积分为 — Eexp(f(2pexp +q) j’pexp(j’2pexp 如+q) 如 +exp(fq ． 定理3若函数p，r满足p一一2r／(fr如) ，则方程 一pexp(f—q如) +qy+rexpJ’qd (1) 可积，且其通积分为 —expj’q如(—C 一j’rdx),其中M—exp[一j’(2pj’r如)如]． 一 I pM dx 定理4 若函数p，q，r满足qexpj’q如一 pd ，则方程 ， ( dy—Pf(y) + ( )+rexp(J—qdx) (2) 可积，且其通积分为 )一( +c)／Eexp 一j’ ( +c)]． 收稿日期： 2007—06—19 作者简介： 伍锦棠(1977一)，男，讲师，主要从事微分方程理论的研究．E—mail：wjt200@tom．com． 基金项目： 国务院侨办科研基金资助项目(03QzRO9) 第2期 伍锦棠，等：Riccati方程的可积性判据 313 2 定理的证明 2．1 疋 理 1嗣证 明 引入变换 —E“，“为z的连续可微函数，而E—expJlqdz，~lJ y一E “+E“，．把 ， 代人Riccati 型方程可得“ 一pE(“ +寿)．经化简，“ 一pE(U2-1)，此为变量可分离的方程，积分后代人“一y／E， 得( —E)／( +E)一Cexp(2IpEdz)，把E—exPlqdz代人并整理，可得原方程的通积分为 — Eexp(fqdz)(1 q-Cexp[2Jl exp卜出]dzJ／E1一cexp(2 ex dz ]． 定理 1结论成立． 2．2 定理2的证明 令 一“Jr-exp卜出，则 一“ +qexpfqdz，把 ， ~／k Riccati型方程，可得 “ +qexpfqd