4第四节动态方程的线性变换探究.ppt

* * 第四节 动态方程的线性变换 * * 若 是系统的一个状态向量，总可以找到一个非奇异的 线 性变换阵 ，有 。那末， 也是系统的一个状态变量，经过这种满秩变换后，系统的传递函数阵不变（前面已经证明）。 由于非奇异矩阵 的选择不是唯一的，所以 不是唯一的。 一、状态变量模型的非唯一性 二、特征根和特征向量 我们称 为特征多项式，它的n个根 为 的特征值。由 解出的向量 称为对应 的特征向量。 [定义]：若 是n阶方阵，如果数 和n维非零向量 使关系式 成立（或 ），那末，数 称为方阵 的特征值， 非零向量 称为 的对应于 的特征向量。 * * [例6-4-1]：求 的特征值和特征向量。 [解]： 当 时，由： 得： 同理，当 时， * * [例6-4-2]： ，求特征值和特征向量。 [解]：特征值为 当 时，由 ，得： * * 若 有 个互异的特征根 ，则 必可化为对角阵 ，即 ，对角线元素为特征根的值。其转换阵为 ，其中 为 对应的特征向量。 [说明]： ，那末： 我们知道，若 ，则 是 对应的特征向量。所以，转换矩阵 是由 的特征向量组成的。 三、动态方程的约当标准型（对角型） * * [例6-4-3]将 转换为对角阵，并求转换矩阵。 [解]：在例6-4-2中，已经求出了 的特征值为： 其对应的特征向量分别为： 所以转换阵为： 即有： * * 特例：若方阵 是可控标准型，且特征根互异，则转换阵是范得蒙矩阵。 若 有相同的特征根时，分两种情况： ①m个相同的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。这种情况较少见。转换阵 的求法同上。 * * 即： 前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时 阵可转换为如下形式的约当标准型。 * * ②m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。（设有m个重根 ） m行 n-m行 (约当块) * * 阵的求法分为两块，一块是互异部分，算法同上；另一块是重根部分。设 的求法 ： 由此可求得： 上式中， 为重根对应的特征向量(广义特征向量)； 为互异特征根对应的特征向量。 * * [例]：试将下列状态方程化为约当标准型： [解]：求特征值： （二重根）时的特征向量为： 另一广义的特征向量： 时特征向量： * * 且有： * * 小结 状态变量模型的非唯一性 特征根和特征向量 动态方程的约当标准型（对角标准型） 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。 * *