4.蒙特卡罗方法解粒子输运问题探究.ppt

加权法的思想在蒙特卡罗方法中用途很广泛。例如，对于具有中子增殖反应，如裂变，(n,2n)，(n,3n) 反应的中子输运问题，一个中子与核发生碰撞后，根据反应的类型会产生不同数量的次级中子，每个次级中子又会产生新的次级中子，这样链锁反应 下去，使得用直接模拟法模拟每一个中子是非常困难的。这种情况可以利用加权法来处理。 权重方法的其它应用 中子与核发生碰撞 后，产生的次级中子平均数为： 这里νf 为裂变次级中子数。于是，碰撞后的权重为： 而决定碰撞类型的几率分别为： 其中 加权法的思想，还可以应用到连续分布情况和偏倚抽样的问题 统计估计法 加权法虽然改进了直接模拟法，但它同样只关心中子是否穿透屏蔽这一信息，因此对每一个中子历史的信息利用得很不充分。统计估计法能够较多地利用中子的历史信息，因而能得到更好的结果。 一个中子，可能在介质内不发生碰撞而直接穿透屏蔽，也可能在介质内发生一次碰撞后再穿透屏蔽，或经过二次碰撞穿 透屏蔽，等等， 这些事件是互不相 容的，因此穿透概 率P 可表示为： 其中Pm 是中子恰好经过 m 次碰撞而穿透屏蔽的概率。这表明，可以用求 Pm (m=0,1, … ) 的方法得到P。这样，中子对穿透概率的贡献就不只限于末次碰撞了。 α0 α1 S0 S1 Sm αm P1 P0 Pm Z a 0 设中子的历史为： 根据该中子的历史，我们可以估计出中子恰好经 过 m 次碰撞后，穿透屏蔽的部分 显然，具有初态 S0＝( 0, E0, cosα0,W0 ) 的中子，未经碰撞直接穿透的部分是： 类似地，在经过了第 m 次碰撞后的中子具有状态 Sm＝( zm, Em, cosαm,Wm ) ，其可能穿透的部分，正好是一个中子恰好经过 m 次碰撞穿透的部分： 这里的这种估计技巧，由于是对每次碰撞后的状态，求其后未经碰撞直接穿透的贡献，因此该方法也称为最后自由飞行估计。 于是得到该中子对穿透的贡献： 如果我们共跟踪了N个中子，则穿透率P的估计为： 其方差估计为： 在直接模拟方法中，相对误差为 其中 为与置信水平 1－α相应的量。 如果构造一个新的概率模型，使得该模型的穿透率P*与原模型的穿透率P之间存在关系： 使用直接模拟方法 , 相对误差为 指数变换法 如果令ε*＝ε，即 这意味着，达到同样的相对误差，跟踪粒子的数目缩小 K 倍，从而减少 K 倍的计算量。指数变换法就是构造一个新的概率模型的一个有效方法。 构造如下伪过程：宏观总截面为 散射截面仍为Σel(E)。其中 Emin、Emax 分别为能量的下限和上限，α为粒子的运动方向与 Z 轴的夹角。可以证明这个伪过程的穿透概率P* 与原过程的穿透概率P之间有如下关系 : 显然， 。因伪过程与原过程的结果相差 e 指数，所以该方法称为指数变换法。 分析一下伪过程的定义 , 可以明显看出P*增大的原因。当 cosα=1 时，粒子运动方向与 Z 轴方向一致，其截面最小，粒子沿 Z 轴方向输运的距离较远；而当 cosα=－1 时，粒子运动方向背向 Z 轴方向，这时其截面最大，粒子向后输运的距离较短。因此，截面变换的结果是加强了粒子向前运动的能力，因而使穿透概率增大。 伪过程的构造与几何形状及所考虑的问题有关。比如，对球形几何，使用指数变换法求穿透概率时 , 所构造的宏观总截面与平板屏蔽的情况不同，粒子的模拟方法也较复杂。 蒙特卡罗方法的效率 衡量一种蒙特卡罗技巧的好坏，除了看其方差大小外，还要看其所需费用（计算时间）多少，即从该技巧的效率 Ef（方差与费用乘积的倒数）全面考虑： 其中σ2 为方差，T 为所需费用。Ef 大时，所用方法的效率高；否则，效率低。 在一般情况下，有些方法虽然减小了方差，却增加了费用。例如，加权法、统计估计法虽然较直接模拟方法减小了方差，却使每个粒子的运动链长增加，或记录贡献的计算时间增加。因 此，不能认为方差小的方法一定好，要从方法的效率全面考虑。在有些情况下，直接模拟方法仍然是一个被广泛使用的方法。 作 业 光子散射后能量分布的抽样 把光子散射能量分布改写成如下形式进行抽样： 在［1, 1+2α］上定义如下函数: 作 业 给出分布密度函数 的抽样方法。 ＞ ≤ 人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣