2.5实变函数与泛函点集探究.ppt

第五节 Cantor集 第二章 点集 Cantor集 对[0,1]区间三等分，去掉中间一个开区间， 然后对留下的两个闭区间三等分，各自去掉中间一个开区间， 此过程一直进行下去，最后留下的点即为Cantor集 Cantor集 第n次 去掉的开区间 留下的闭区间 1 2 n ⑴定义：令 称P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc 为Cantor集 Cantor集的性质 1 .分割点一定在Cantor集中 Cantor集P=[0,1]- G=[0,1]∩Gc为闭集 注：第n次共去掉2n-1个长为1/3n的开区间 2. P的“长度”为0，去掉的区间长度和 3.P没有内点 ( ) x-ε x x+ε 第 n+1次等分去掉的区间 第n次等分留下的区间 但由Cantor集的作法知，我们要对其继续三等分去掉 中间一个开区间，从而 内至少有一点不属于P， 所以x不可能是P的内点。 证明：对任意x ∈ P, x必含在“去掉手续 进行到第n次”时留下的2n个长为1/3n的互 不相交的某个闭区间中 4.P中的点全为聚点,从而没有孤立点 从而x为P的聚点，当然不为孤立点。 证明：对任意x ∈ P ， 只要证： 由Cantor集的作法知 而 的两个端点定在P中， 第n次等分留下的区间 ( ) x-δ x x+δ CANTOR集6大性质： 是测度为零、基数为c 的疏朗完备集.定义1.稠密集、疏朗集（补充）  1.）稠密集 2.）疏朗集结论5. CANTOR完备集是疏朗集结论6.P的基数为C Sierpinski垫的 维数是log3 / log2 Cantor集的维数 是log2 / log3 参见：《分形对象：形、机遇和维数》 B.Mandelbrot; 《实迭代》张景中； 《数学的源与流》张顺燕； 《集合与面积》李惠玲; 分形艺术:; 分形频道 Koch曲线的维数 是log4 / log3 面积有限但边 界线无限长 (4/3)n的极限 （20世纪上半世纪）有限维 到 无限维 (泛函分析) （20世纪下半世纪）有限维 到 分数维 (分形几何) Mandelbrot集合 Mandelbrot集合局部放大 ???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? Nova分形 Newton分形 3.点集间的距离 b.若 ,则 d(A,B)=0; 反之则不一定成立， 如A={n - 1/n},B={n+1/n}（都是闭集） c.d(x,B)=0当且仅当 注：a.若x∈ B,则d(x,B)=0;反之则不一定成立，如x=0,B=(0,1) 证明：利用d(x,E) ≤ d(x,z) ≤ d(x,y) +d(y,z) z∈ E 定理1 设E为Rn中非空点集 ，则d(x,E)是Rn上关于x的 一致连续函数. 所以d(x,E)是Rn上关于x的一致连续函数。 可得d(x,E)≤ d(x,y) +d(y,E)， 同理d(y,E)≤ d(x,y) +d(x,E), 故有|d(x,E)- d(y,E) |≤ d(x,y) 定理2：设A为非空闭集 ， x∈Rn ，则必有y∈A,使得d(x,y)=d(x,A) 闭集：与E紧挨的点 不跑到E外，也即E外 的点与E不可能紧挨 又Ａ为闭集，故y∈A,对 两边关于i取极限即得d(x,y)=d(x,A) 证明：由 可得 定理3.：设A,B为非空闭集，且A有界，则必有x∈A, y∈B,使得d(x,y)=d(A,B) 由于A有界，故 证明：由 A B A有界不可少， 如A={n - 1/n},B={n+1/n} 又B为闭集，故y∈B, 另外对 两边关于j取极限得d(x,y)=d(A,B) 又A为闭集，从而x∈A ，并可得{yni}有界 因为当ni充分大时， d(x, yni) ≤ d(x, xni ) + d(xni, yni) ≤1 + ( d(A,B) + 1/ni ） 例： 设F为R1中的有界闭集，G为开集且 则存在δ0，使得当|x| δ时 ，有 证明：由于 F为R1中的有界闭集，G为开集,