选修2-2：1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念.ppt

3.求物体运动的瞬时速度： （1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t) (2)求平均速度 （3）求极限 4.由导数的定义求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤： （1）求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) (2)求平均变化率 （3）求极限 追赶时间的人，生活就会宠爱他；放弃时间的人，生活就会冷落他. 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念 早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果——微积分的产生。 牛 顿 莱 布 尼 茨 背景介绍 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼茨，他们分别从运动学和几何学角度来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛应用。 例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题，天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等，甚至连历法、农业都与微积分密切相关，更不用说在我们的日常生活中所碰到的那些问题了。 1.了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵. 2.导数概念的实际背景，导数的思想及其内涵.（重点） 探究点1 变化率问题 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球.回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 当V从0增加到1L时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1L增加到2L时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 显然0.620.16 我们来分析一下: 思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均 膨胀率是多少? 解析： h t o 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间 段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? h t o 解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在 这段时间里的运动状态. 这里Δx看作是相对于x1的一个“增量”可用x1+Δx代替x2同样Δy=f(x2)-f(x1) 平均变化率定义: 上述问题中的变化率可用式子 表示. 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率. 若设Δx=x2-x1, Δy=f(x2)-f(x1) 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1=△x f(x2)-f(x1)=△y 直线AB的斜率 在高台跳水运动中,平均速度不能反映运动员在这段时间里的运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 又如何求 瞬时速度呢? 探究点2 导数的概念 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 解： △t0时, 在[ 2+△t, 2 ] 这段时间内 △t0时, 在[2, 2 +△t ] 这段时间内 当△t=–0.01时, 当△t=0.01时, 当△t=–0.001时, 当△t=0.001时, 当△t=–0.000 1时, 当△t=0.000 1时, 当△t=–0.000 01时, 当△t=0.000 01时, 当△t=–0.000 001时, 当△t=0.000 001时, …… …… 当Δt趋近于0时,平均速度有什么变化趋势? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1 m/s. 从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度 表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”. 为了表述方便，我们用 局部以匀速代替变速，以平均速度代替