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离散问题建模方法及案例分析 上海海事大学 丁颂康 skding@shmtu.edu.cn 一. 离散数学的研究对象 二. 离散问题建模方法 3. Steiner三元系的推广—平衡不完全区组设计 Steiner三元系还可以向两个方向推广: 1) 将“三元子集”推广到k元子集; 2) 将“唯一的”推广到大家重复λ次。 于是就有了平衡不完全区组设计的概念: 设S是一个n元集合,B是由S的一些k元子集(或称k元 组) 组成的集合。如果S中的任意一对不同的元素,都 恰好同时包含在B的λ个 k 元子集中,则称(S, B)组成 一个区组长度为k, 相遇数为λ的平衡不完全区组设计。记作B(k,λ; n)。 平衡不完全区组设计的存在性: 容易见到, B(k,λ; n)存在的必要条件是: 1) ; 2) 。 有人证明了,除了少数情况,以上条件也是充分的。 回到原问题:由于董事会人数的关系,任意两位董事分在同组 的次数不可能做到完全平衡。只能力求平衡。以九名在职董事为 例 ,可以安排如下: 2.计数问题案例---- 截断切割(CMCM1997-B) 一.问题的提出 截断切割是指将物体沿某个切割平面切成两部分。 从一个长方体内加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体(两个长方体对应的平面相互平行),通常要经过6次切割。 假定切割费用与切割时扫过的面积成正比,则需要考虑的不同切割方案的总数是多少? (其它要求和其它问题略) 3.最优性问题案例一---- 通讯网络的最小Steiner树 (MCM1991-B) 一.问题的提出 9个通讯站位于以下坐标点处: 要设计一个连接这9个通讯站的局部网络,使总费用最省. (假定连线费用与距离成正比). 最优性问题案例二---- 图书馆购书策略 一. 问题的提出 某学校图书馆准备添置一些新书。为了满足广大学生的需求, 图书馆对具有代表性的300位同学中进行了调查。要求被调查的学生在科技图书、中国小说、外国文学、教辅读物等十大类书籍中选出自己的最喜欢的三种并排出顺序。(调查结果略) 假定这十种图书每册的平均价格为(元/册) 二. 分析与建模 经费问题:通常图书馆购置新书的经费是有限的,所以希望越小越好。 藏书量问题:藏书量通常是考量图书馆规模等级的重要指标。因此,总希望尽可能大。 尽最大可能满足学生希望: 这是一种所谓消费者的偏好问题,经济学中采用效用函数的方法处理。---就是定义一个递增(有时也可能是递减)的函数来表示消费者对不同商品的喜好程度,来度量原来不能度量的东西,把偏序改为全序。 谢 谢 2011.7 * * 离散数学是“研究离散变量相互关系和结构的数学理论的总称。包括集合论、数论、有限群论、组合数学、图论、数理逻辑、可行计算理论等。” -----《辞海》 离散数学研究的对象是有限集合。该集合的大小又是与某些参数的组合数有关。因此,也常常被称为组合结构。 讨论的问题类型很多,主要有: 安排(arrangement)、分类(grouping)、排序(ordering)、选择(selection)等。 变量的“离散性” —对象通常是以个体形式 出现…… 问题的“离散性” — 二分问题、七桥问题、八后问题、二十问问题…… 方法的“离散性” — 由问题的离散性带来方法上的离散性。不存在统一的求解模式:常用的有整数规划、图论、数理逻辑等方法。更大量的则是枚举法以及所谓的启发式算法…… 关于算法复杂性(complexity) 问题—算法—结果 An algorithm is considered “good” if the required number of elementary computational steps is bounded by a polynomial in the size of the problem. ---- J.Edmonds R.M.Karp (1960) P --- NP ---
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