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第三章 离散傅立叶变换及其快速算法 周期序列的离散傅里叶级数 离散傅立叶变换 频域采样定理 DFT的快速算法——FFT DFT与FFT的应用 §1 周期序列的离散傅立叶级数 周期序列的傅立叶级数 周期序列的傅立叶级数 WN的性质 周期序列的傅立叶变换 定义 §2 离散傅立叶变换 有限长序列的离散傅立叶变换 DFT的定义 有限长序列的离散傅立叶变换 DFT的意义 DFT的周期性以及与DFS的关系 可见序列的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上N点的等间隔采样。显然，对于同一序列当频率采样点数不同时，其DFT的值也不同。 例1： 离散傅立叶变换的性质 DFT的性质 离散傅立叶变换的性质 例： 例： 离散频率、数字频率和模拟频率间的关系 模拟频率 数字频率 §3 频域采样定理 频域采样不失真恢复的条件 频域采样后能不失真恢复原序列的条件 内插公式 用X(k)表示X(z) 用X(k)表示X(ejω) 内插函数零极点与Φ（ω）的幅频特性示意图 典 型 例 题 内插公式 时域采样定理中的内插函数 相似 内插公式 以上所讨论的两种情形的内插公式是用频域采样法设计FIR数字滤波器重要的理论基础，虽然此处无从体现，但后面有关FIR数字滤波器的结构与设计中常用到这些结论。 内插公式 第三章第1讲 * 对于周期为N的周期序列 用基序列 { }将其展开。 的基频为 ，其基 波为 , 第k次谐波为 ∴ 也是以N为周期的周期序列 故基序列{ } 只有N个是独立的，可以用这N个基序列将 展开。 1.周期性 2.共轭对称性 3.可约性 4.正交性 周期序列的傅立叶级数 正变换 反变换 显然具有周期性 周期序列的傅立叶级数 周期序列的离散傅立叶级数的意义 周期序列的离散傅立叶级数表明：可将周期为N的序列 分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波的频率为 ， 幅度为 ，其中 注意： 和 都可取任何整数值，这表明 和 都是无限长的，但由于它们的周期性，只需要知道一个周期，其它周期可通过周期延拓得到。 离散傅立叶级数（DFS）的性质 1、线性性 2、移位性 周期序列的傅立叶级数 离散傅立叶级数（DFS）的性质 3、频域移位（调制）性 4、周期卷积定理 设 和 具有相同的周期N，定义： 为这两个序列的周期卷积。 周期卷积与第二章所讨论的线性卷积不同，其特点是： 和 都是周期为N的序列。 注意 周期序列的傅立叶级数 离散傅立叶级数（DFS）的性质 5、频域周期卷积定理 例： 两个周期为N=6的序列 和 的周期卷积过程 类似于线性卷积，首先进行变量代换： ，再将其中一个序列进行反褶、移位、相乘，然后相加。运算仅在m=0到m=N-1内进行，计算出一个周期的结果，再进行周期延拓得到整个序列 。 序列傅立叶变换存在的条件是满足绝对可和或平方可和，但对周期序列这两个条件都不满足，因为当 时，序列的值或平方值都不趋于0。若引入频域的冲击函数 ，也可求得其傅立叶变换。 周期为N的周期序列 的傅立叶变换为： 傅立叶反变换为： 参见P87页例题 问题的引入： 由第二章曾讨论过的“序列的傅立叶变换”我们知道：序列的傅立叶变换就是序列的频谱，它是数字频率 的连续变量函数，且序列的长度不受限制。但在实际利用计算机或数字设备进行频谱分析时，只能处理有限长数据且必须将 离散化。 有限长序列的傅立叶变换及频率离散化问题——离散傅立叶变换（DFT） 有限长序列的离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的性质 离散频率、数字频率和模拟频率间的关系 长度为N的因果序列 其频谱为： 上式中仅管 是离散序列，但 却是连续变量，且 是 的周期为 的周期函数，故实际上只需计算 在区间 上的值。同时，由于 为连续变量，在 中有无限多个点，而实际只能计算有限个点，故必须将 离散化。 在 上从0开始等间隔的取N个点，相应的 （k=0,…,N-1),则上式变为： 定义式 其中 为序