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清远市职业技校数学专题训练:直线与平面垂直的性质
清远市职业技校数学专题训练:直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.如果直线l与平面α不垂直,那么在平面α内( )
A.不存在与l垂直的直线
B.存在一条与l垂直的直线
C.存在无数条与l垂直的直线
D.任意一条都与l垂直
2.过一点和已知平面垂直的直线条数为( )
A.1条 B.2条
C.无数条 D.不能确定
3.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面( )
A.有且只有一个
B.可能存在也可能不存在
C.有无数多个
D.一定不存在
4.已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.斜交 D.不能确定
5.若a、b表示直线,α表示平面,
a⊥α,ab,则bα;
a∥α,ab,则bα;
a∥α,bα,则ba;
a⊥α,bα,则ba.
上述命题中正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知三条直线m、n、l,三个平面α、β、γ,下面四个命题中,正确的是( )
A.α∥β B.?l⊥β
C.?m∥n D.?α∥β
7.(2011-2012·杭州高二检测)如下图,设平面α∩β=EF,ABα,CDα,垂足分别是B、D,如果增加一个条件,就能推出BDEF,这个条件不可能是下面四个选项中的( )
A.ACβ
B.ACEF
C.AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D.AC与α、β所成的角相等
8.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不重合的平面,给定下列四个命题,其中真命题的是( )
若mn,nα,则mα;
若aα,aβ,则αβ;
若mα,nα,则mn;
若mα,nβ,αβ,则mn.
A.和 B.和
C.和 D.和
9.如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC B.BD
C.A1D D.A1D1
10.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持APBD1,则动点P的轨迹是( )
A.线段B1C
B.线段BC1
C.BB1中点与CC1中点连成的线段
D.BC中点与B1C1中点连成的线段
二、填空题
11.已知直线m平面α,直线n平面α,m∩n=M,直线am,an,直线bm,bn,则直线a,b的位置关系是________.
12.已知AF平面ABCD,DE平面ABCD,如图所示,且AF=DE,AD=6,则EF=________.
13.如图,PA平面ABC,ACB=90°,EFPA,则图中直角三角形的个数是________.
14.线段AB在平面α的同侧,A、B到α的距离分别为3和5,则AB的中点到α的距离为________.
三、解答题
15.如下图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.
[分析] 转化为证明EF平面AB1C,BD1平面AB1C.
16.在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,且四边形ABCD是矩形,AEPD于E,l平面PCD.求证:lAE.
[分析] 转化为证明AE平面PCD,进而转化为证明AE垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD.
17.(2011-2012·吉林高一检测)如下图,ABC为正三角形,EC平面ABC,DB平面ABC,CE=CA=2BD,M是EA的中点,N是EC中点,求证:平面DMN平面ABC.
18.如图,已知四边形ABCD是矩形,PA平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MNAB;
(2)若PA=AD,求证:MN平面PCD.
[答案] C
[解析] 若lα,显然在α内存在无数条直线与l垂直;若lα,过l作平面β∩α=l′,则ll′,
在α内存在无数条直线与l′垂直,从而在α内存在无数条直线与l垂直;
若l与α斜交,设交点为A,在l上任取一点P,
过P作PQα,垂足为Q,在α内存在无数条直线与AQ垂直,从而存在无数条直线与直线PA(即l)垂直.
[答案] A
[解析] 已知:平面α和一点P.
求证:过点P与α垂直的直线只有一条.
证明:不论点P在平面α外或平面α内,设PAα,垂足为A(或P).如果过点P还有一条直线PBα,设PA、PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA、PB垂直于交线a,这是不可能的.所以过点P与α垂直的直线只有一条.
[答案] B
[解析] 当ab时,有且只有一个.
当a与b不垂直时,不存在.
[答案] B
[解析] 设a,b为异面直线,a平面α,bα,直线la,lb.
过a作平面β∩α=a′,则aa′,l⊥a′.
同理过b作平面γ∩α=b′,则lb′,
a,b异面,a′与b′相交,l⊥α.
5[答案] C
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