江门市第一职中2014对口升学数学一轮复习基础训练：抛物线.doc

江门市第一职中2014对口升学数学一轮复习基础训练：抛物线 一、选择题(每小题6分，共36分) 1.过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F垂直于对称轴的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p的值为(　　) (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 2.设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(　　) (A)4　　　　(B)6　　　　(C)8　　　　(D)12 3.以抛物线y＝x2的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x＋3y＋2＝0相交所得的弦长为(　　) (A) (B)2 (C)4 (D)8 4.过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线共有(　　) (A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 5.设F为抛物线y＝－x2的焦点，与抛物线相切于点P(－4，－4)的直线l与x轴的交点为Q，则∠PQF等于(　　) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90° 6.已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　) (A)x＝1 (B)x＝－1 (C)x＝2 (D)x＝－2 二、填空题(每小题6分，共18分) 7.抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝　　　　. 8.过抛物线y＝8x2的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为　　　　. 9.已知点P是抛物线y2＝4x上一点，设点P到此抛物线准线的距离为d1，到直线x＋2y＋10＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是　　　. 三、解答题(每小题15分，共30分) 10.已知椭圆＋＝1(ab0)的一个焦点F与抛物线y2＝4x的焦点重合，且截抛物线的准线所得弦长为，倾斜角为45°的直线l过点F. (1)求该椭圆的方程； (2)设椭圆的另一个焦点为F1，问抛物线y2＝4x上是否存在一点M，使得M与F1关于直线l对称，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由. 11.如图，已知抛物线C1：x2＝2py(p0)与圆C2：x2＋y2＝交于M、N两点，且∠MON＝120°. (1)求抛物线C1的方程； (2)设直线l与圆C2相切. 若直线l与抛物线C1也相切，求直线l的方程. 【探究创新】 (16分)已知抛物线x2＝2y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B. 某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想： (1)直线PA、PB恒垂直； (2)直线AB恒过焦点F； (3)等式中的λ恒为常数. 现请你一一进行论证. 【解析】选D.∵x2＝－4y， ∴F(0，－1). ∵y′＝－x， ∴kl＝2，∴l：y＋4＝2(x＋4)， 令y＝0，得x＝－2，∴Q(－2,0). ∴kQF＝＝－，∴kl·kQF＝－1，∴∠PQF＝90°. 6.【解析】选B.方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知直线AB的方程为：y＝x－，与y2＝2px联立得：y2－2py－p2＝0，∴y1＋y2＝2p， 由题意知：y1＋y2＝4， ∴p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x， 其准线方程为x＝－1，故选B. 方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得y1＋y2＝4，y＝2px1，y＝2px2， 两式相减得：kAB＝＝＝＝1，∴p＝2， ∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. 【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧 (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，同时，要注意使用条件是Δ≥0. (2)在椭圆＋＝1(ab0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－. (3)在双曲线－＝1(a0，b0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. (4)在抛物线y2＝2px(p0)中，以P(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦所在直线的斜率k＝. 7.【解析】由题意得F(1,0)，准线l：x＝－1，则x＋1＝4， ∴x＝3. 答案：3 8.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4. 又∵y＝8x2即x2＝y，∴2p＝，p＝， ∴|AB|＝y1＋y2＋p＝. 答案： 9.【解析】由抛物线的定义知点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，如图，过焦点F作直线x＋2y＋10＝0的垂线，此时d1＋d2最小，因为F(1,0)，所以d1＋d2＝＝. 答案： 【方法技巧】求圆锥曲线上点到直线距离最值问题的方法 一般转化为直线与该直线平行且与圆锥曲线相切的平行线间的距离求解；另外，也可在圆锥曲线上取一