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数学基础训练34 (A) 空间的角度与距离 ●训练指要 掌握空间有关的角与距离的概念、范围、计算方法，会计算有关的距离和角. 一、选择题 1.(2001年全国高考题)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜，记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则 A.P3＞P2＞P1 B.P3＞P2=P1 C.P3=P2＞P1 D.P3=P2=P1 2.给出下列四个命题： ①如果直线a∥平面α，a平面β，且α∥β，则a与平面α的距离等于平面α与β的距离； ②两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条平行直线的距离等于这两个平面间的距离； ③异面直线a、b分别在两个平行平面内，则a、b的距离等于这两个平面的距离； ④若点A在平面α内，平面α和β平行，则A到平面β的距离等于平面α与平面β的距离. 其中正确的命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值等于 A. B. C. D. 二、填空题 4.二面角α—l—β的面α内有一条直线a与l成45°的角，若这个二面角的平面角也是45°,则直线a与平面β成角的度数为_________. 5.三个两两垂直的平面，它们的三条交线交于一点O，点P到三个平面的距离的比为1∶2∶3，PO=2,则P点到这三个平面的距离分别是_________. 三、解答题 6.如图，在正三棱锥P—ABC中，侧棱长3 cm，底面边长2 cm，E是BC的中点，EF⊥PA，垂足为F. (1)求证：EF为异面直线PA与BC的公垂线段； (2)求异面直线PA与BC间的距离. 7.如图，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都相等，过底面对角线 AC作平行于侧棱SB的截面交SD于E. (1)求AB与SC所成角的大小； (2)求二面角E—AC—D的大小； (3)求直线BC与平面EAC所成角的大小. 8.在棱长为a的正四面体ABCD中，M、E分别是棱BD、BC的中点，N是BE的中点，连结DE、MN，求直线DE与平面AMN间的距离. (B) 夹角与距离的计算 ●训练指要 掌握空间有关角和距离的确定方法、范围，熟练地计算空间的角和距离. 一、选择题 1.已知点A、B、C、D的坐标分别为(-1，0，1)，(0，0，1)，(2，2，2)(0，0，3)，则所成的角为 A.arccos(-) B.-arccos(-) C.arccos D.-arccos 2.α—a—β的平面角是锐角θ,α内一点A到棱a的距离为4，点A到面β的距离为3，则tanθ的值等于 A. B. C. D. 3.将锐角为60°,边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线折成60°的二面角，则AC与BD的距离为 A.a B. C.a D. 二、填空题 4.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱BB1的中点，P是截面ABC1D1上的一动点，则A1P+PE的最小值为_________. 5.直二面角α—l—β，线段AB，A∈α,B∈β，AB与α所成的角为30°,则AB与β所成角的取值范围是_________. 三、解答题 6.已知△ABC中，A(2，-5，3)，=(4，1，2)，=(3，-2，5)，求其余顶点与向量及∠A. 7.已知空间三点A(1，2，3)，B(2，-1，5)，C(3，2，-5). 试求：(1)△ABC的面积； (2)△ABC的AB边上的高. 8.(2003年上海春季高考题)已知三棱柱ABC—A1B1C1，在某个空间直角坐标系中， ,={m,0,0}, ={0,0,n},其中m、n＞0. (1)证明：三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱； (2)若m=n,求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小. 数学基础训练34答案 (A) 夹角与距离的计算 参考答案 一、1.D 2.C 3.A 二、4.30° 5.2、4、6 三、6.(1)BC⊥面PAE，在△PAE中EF⊥PA (2)即EF的长为 cm 7.(1)60° (2)45° (3)30° 8. (B) 夹角与距离的计算 参考答案 一、1.A 2.C 3.A 二、4. 5.0°＜θ≤60° 三、6.设B(x,y,z),C(x1,y1,z1) 因为 =(4，1，2) 所以 解得 因为 =(3,－2,5) 所以，解得，所以C(9，－6，10) 因为 =(－7，1，－7) 所以 =(7，－1，7)， =(4，1，2) 所以cosA= 所以∠A=arccos 7.(1)=(1,－3,2), =(2,0,－8) 所以 =1×2+