第5章图论与网络规划模型案例.ppt

图中给出的有一个源和一个汇的网络. 网络 中每一条边 有一个容量 , 除此之外,每 对边 还有一个通过边的流(Flow), 记为 . 显然, 边 上的流量 不会超过该边上的容量 , 即 软件可以自动删除描述线性规划可行解中的多 余方程. LINGO软件计算结果（仅保留非零变量）如下 Global optimal solution found. Objective value: 20.00000 Variable Value Reduced Cost X( S, A3) 1.000000 0.000000 X( A3, B2) 1.000000 0.000000 X( B2, C1) 1.000000 0.000000 X( C1, T) 1.000000 0.000000 即最短路是 , 最短路长为20个单位. 例2 现需要将城市s的石油通过管道运送到城市t，中间有4个中转站 和 , 城市与中转站的连接以及管道的容量如图所示，求从城市s到城市t的最大流. 5.2.2 最大流问题 称满足不等式（6）的网络 是相容的. 对于所有中间顶点, 流入的总量应等于流出的 总量 , 即: 一个网络 的流量(Value of flow)值定义为从源 流出的总流量, 即 由式(18)和(19)式可以看出, 的流量值也为流入汇 的总流量,即: 称满足式(10)的网络 为守恒的. 第5章 图论与网络规划模型 图论作为离散数学的一个重要分支，在工程技术、自然科学和经济管理中许多方面都能提供有力的数学模型来解决实际问题。 比如，哥尼斯堡七桥问题、中国邮递员问题、四色定理等等。图论方法已经成为数学模型中的重要方法。许多难题由于归结为图论问题被巧妙地解决。 第5章 图论与网络规划模型 5.1 图的基本概念 5.2 最短路问题与最大流问题 5.3 最优连线问题与旅行商问题 5.1.1 图的定义 5.1 图的基本概念 图G是一个偶对（V,E），其中V(G)={v1,v2, …,vn}为图的 顶点集（vertex set），E(G)={e1,e2,…,en} 为图的边集（edge set）或弧集（常用A表示）, 记ek=(vi,vj)(k=1,2 , …,m)。 若ek是无序对，则称G为无向图（undirected graph）；若ek=(vi,vj)是有序对，则称G为有向图（directed graph），vi为的起点，vj为的终点，称去掉有向图的方向得到的图为基础图（underlying graph）。 5.1.1 图的定义 一个图称为有限图，如果它的顶点集和边集都有限。图G的顶点数用符号|V|表示，边数用|E|表示。 端点重合为一点的边称为环(loop)。连接两个相同顶点的边的条数称为边的重数，重数大于1的边称为重边(multi-edges)。在有向图中，两个顶点相同但方向相反的边称为对称边(symmetric edge)。一个图称为简单图(simple graph)，如果它既没有环也没有重边。 5.1.2 完全图、二分图、子图 每一对不同的顶点都有一条边相连的简单图称为完全图(complete graph)。n个顶点的完全图记为Kn；完全图的定向图称为竞赛图。 若V(G)=X∪Y，X∩Y=空集，|X||Y|≠0,X中无相邻顶点对，Y中亦然，则称G为二分图(bipartite graph)；特别地，若对任意的x∈X, y∈Y ，都有x