第5章两点边值问题求解方法案例.ppt

* 5.4 有限元法 以二阶系统为例，考虑边值问题： 5.4.1 投影类方法的基本思想 以一简单函数 近似y(x)，给出连续近似解，例如： 一般形式： ， 已知， 待定。 残差： 某种意义上使残差最小，则得到某种准则下最佳的近似解。 5.4 有限元法 * 区间残差平方和最小：最小二乘法 若干特定点处残差为零：配点法 加权残差为零：加权残差法 Galerkin法： 。 5.4 有限元法 计算复杂，不常用 为权函数 * 例5.2：考虑两点边值问题 解析解为： 试用配点法和加强残差法求解该问题近似解。 5.4 有限元法 * 5.4 有限元法 解析解 * 设近似解的形式： 基函数的选择示例： 为满足边值条件要求 取二次函数 以及三次项 N=2 （1）配点法 近似解的残差 令N个点处残差为零求解系数，如 5.4 有限元法 线性函数不满足 配点？ * （2）加权残差法 要求： Galerkin法，取 即： 5.4 有限元法 * 5.4 有限元法 配点法、Galerkin加权残差法与精确解的比较 * 5.4.2 有限元法的基本思想 将区域（区间）划分为小的单元，在单元上表示近似解 以及求残差加权积分。 第i个单元，Ei， ， 在每个单元上解用多项式近似； 在每个单元上计算加权残差； 根据各单元满足的方程确定多项式近似解的系数。 5.4 有限元法 局部近似，分段光滑 可以用简单的低阶近似 * 5.4.3 有限元法：线性元为例 解在每个单元上采用x的线性函数近似表示。 5.4 有限元法 * * 线性插值表示，3节点问题示例 * 直接求二阶导不正确！避免，实质上是Galerkin变分法导出的，用有限单元线性元近似。 * y’画图phii-1,phii,phii+1 * N+1个方程，N+3个未知数，补充边值条件可解 * * * * * * 航空航天中的计算方法 授课教师：陈琪锋 中南大学航空航天学院 第二部分 边值问题求解方法 第5章 两点边值问题求解方法 * 内容提要 5.1 常微分方程边值问题的概念 5.2 打靶法 5.3 有限差分法 5.4 有限元法 [1] Part 3: Two-Point Boundary Value Problems. [2] David L. Darmofal, Computational Methods in Aerospace Engineering (Lecture Notes), MIT, 2005. Chap11,12. [3] 清华大学数学系编，现代应用数学手册?计算方法分册（第十一章，常微分方程边值问题的数值方法），北京出版社，1990. * 5.1 常微分方程边值问题的概念 对于常微分方程： 其中 ，x为标量， y和 f 为m维向量。在 上求解之需要m个定解条件，若定解条件的形式为： 其中 g为m维向量。则该问题称为两点边值问题（TPBVP， Two Point Boundary Value Problem）。 如果边值条件形式可写为： 其中gL和gR的维数之和等于m，则边界条件为分离的。 5.1 常微分方程边值问题的概念 * 5.2 打靶法 以二阶系统为例，考虑边值问题： 变换： 考虑初值问题： 初值问题的解为： 找到α满足： 5.2 打靶法 如何求α？ * 打靶法的几何解释： 5.2 打靶法 打靶：求解初值问题 * 5.1.1 割线法 以两个不同的α值求解初值问题，得到两个解： 根据初值条件知： 假设 是α的线性函数，可取α 为： 迭代求解公式： 结束条件： 5.2 打靶法 * 割线法的几何解释： 5.2 打靶法 线性近似：按割线求根 * 5.1.2 牛顿法 求解非线性方程（组）： 在已知初值α0的处Taylor展开： 线性近似： 迭代求解公式： 结束条件： 5.2 打靶法 * 差分法求偏导数 或采用其它数值微分方法。 f 可微时解偏导数微分方程 微分方程对α求偏导： 5.2 打靶法 初值问题，可解！ （与割线法等价） 割线代替切线 * 每一步迭代求解初值问题 其中： 解得： 得到的终端