第一章数学建模与误差-2011-07-21.ppt

略高阶小量，则上式可简化为 式中， 和 一般都是小量值，如忽 （1.7.1） 的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差 和 经过传播 因此， 的绝对误差为 式中， 和前面 的系数 和 分别是 和 对 由（1.7.1）可得出 的相对误差： 后增大或缩小的倍数。 （1.7.2） 式中， 和 前面的系数 和 分别是 经过传播后增大或缩小的倍数。 和 对 的相对误差增长因子，它们分别表示相对误差 和 例1.7.1 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 （伏特)和 （安培),求这个电阻的阻值 其绝对误差和相对误差。 ，并估算 由（1.7.1）可计算 的绝对误差： 将它们带入上式，即可估算出的绝对误差： ； ， 令 ， 解 由欧姆定律，有 （1.7.1）和（1.7.2）可推广到更为一般的多元函数 中，只要将函数 在点 处作泰勒展开， 等小量的高阶项，即可得到函数的 近似值的绝对误差和相对误差的估算式分别为： 并略去其中的 （1.7.3） 和 （1.7.4） 对的绝对误差和相对误差的增长因子。 上两式中的各项 和 分别为各个 从（1.7.3）和（1.7.4）可知，误差增长因子的绝对值很大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。凡原始数据的微小变化可能引起结果的很大变化的这类问题,称为病态问题或坏条件问题。 可以利用(1.7.3) 和（1.7.4）对算术运算中数据误差传播规律作一具体分析。 （1.7.5） (1.7.6) 1.7.2 误差在算术运算中的传播 由(1.7.3) 和（1.7.4）有 （1）加，减运算 及 由(1.7.5)可知：近似值之和的绝对误差等于各近似值绝对误差的代数和。两数 和 相减，由(1.7.6)有 当 ，即大小接近的两个同号近似值相减时，由上式可知，这时 可能会很大，说明计算结果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。 因此在实际计算中，应尽量设法避开相近数的相减。当实在无法避免时，可用变换计算公式的办法来解决。 即 例1.7.3 当 很小时， ，如要求 的值，可利用三角恒等式 进行公式变换后再来计算。同理，也可把 展开成泰勒级数后，按 来进行计算。这两种算法都避开了两个相近数相减的不利情况。 例1.7.2 当要计算 ，结果精确到第五位数字时，至少取到 和 ，这样 才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式： 也能达到结果具有五位有效数字的要求，而这时 和 所需的有 效位数只要五位，远比直接相减所需有效位数（八位）要少。 （2）乘法运算 由（1.7.3）及（1.7.4）有 因此，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。当乘数的绝对值很大时，乘积的绝对值误差 可能会很大，因此也应设法避免。 （1.7.7） 和 （1.7.8） （3）除法运算 由（1.7.3）及（1.7.4）有 由（1.7.10）可知，两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。 又由（1.7.9）可知，当除数 的绝对值很小，接近于零时，商的绝对误差 可能会很大，甚至造成计算机的“溢出”错误故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。 （1.7.9） 和 （1.7.10） （4）乘方及开方运算 由（1.7.3）及（1.7.4）有 由（1.7.12）可知，乘方运算将使结果的相对误差增大为原值 的 （乘方的方次数）倍，降低了精度；开方运算则使结果的相对误差缩 小为原值 的 （ 为开方的方次数），精度得到提高。 综上分析可知，大小相近的同号数相减，乘数的绝对值很大，以及除数接近于零