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第一部分 数理逻辑 Mathematical Logic 1.4命题逻辑的推理理论 内容: 命题公式的蕴涵式 基本蕴涵式 直接证明法 间接证明法 反证法/归谬法 目标: 熟记基本蕴涵式 熟练利用上述各种证明法论证任意推理的有效性 例题解(1) 1.如果自然数N是偶数,那么N+1也是偶数。 解:设 p:自然数N是偶数。 q: N+1是偶数。 命题符号化为:p → q 此命题的真值根据N的取值确定。 例题解(2) 2.如果2是偶数,那么3也是偶数。 解:设 p:2是偶数。 q:3是偶数。 命题符号化为:p → q 因为p为真命题,q为假命题,所以此命题为永假命题 例题解(3) 3.如果4能够整除整数K,那么2也能整除K。 解:设 p:4能够整除整数K。 q: 2也能整除K。 命题符号化为:p → q 此命题为永真命题。即有 p ? q 命题公式的关系 逻辑等值(logically equivalent) A?B 设A、B是公式,如果在任意解释I下,A?B是重言式,则称公式A、B是等值的。 逻辑蕴涵(logically imply) A B 设A、B是公式,如果在任意解释I下,A → B是重言式,则称公式A逻辑蕴涵B。 基本蕴涵式 (1)化简律:A?B=A, A?B = B (2)附加律:A = A?B, B = A?B (3)假言推理: A ?( A?B) = B (4)拒取式:(A?B)??B = ?A (5)析取三段论:(A?B) ??B = A (6)假言三段论:(A?B) ? (B?C) = A?C (7)等价三段论: (A?B) ? (B ? C) = A?C (8)二难推理: (A?C)?(A?B)?(C?B) = B (9)构造性二难: (A?B)?(C?D)?(A?C) = B?D (10)破坏性二难: (A?B)?(C?D)?(?B??D) = ?A??C 逻辑推理 1.如果下雨,则菜价会上涨。菜价上涨了,因此下了雨。 2.如果丽莎今年工作表现好,她会得到奖金。如果她得到奖金,她会去度假。如果她去度假,她会去航海。丽莎没有去航海,因此她没有得到奖金。 3.如果我的办公桌上有支票簿,则说明我已经付过电话费。我在吃早饭时查看电话账单或在办公室查看电话账单。如果在早餐时查看电话账单,则支票簿在早餐桌上,说明我没有付电话费。如果我在办公室查看电话账单,则支票簿在我的办公桌上,支票簿到底在哪里? 推理的形式结构 有限命题序列A1,A2,…Ak,B称为推理(或论证(argument))。A1,A2,…Ak称为推理的前提(premise),B称为推理的结论(conclusion)。 当且仅当A1∧A2∧…∧Ak → B为重言式时,称由前提A1, A2,… Ak推出B的推理是有效的(或正确的),并称B是该前提的有效结论。 形式结构记为: A1 ∧ A2 ∧ … ∧Ak =B 或为 {A1 ,A2 ,… ,Ak}|- B。 重言式的证明方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法 形式演算系统 (1)自然推理系统----从任意给定的前提出发,应用系统中的推理规则进行推理演算,得到的公式是推理的结论。 (2)公理推理系统----只能从若干给定的公理出发,应用系统中推理规则进行推理演算,得到的结论是系统中的重言式,称为定理。 推理证明 1.如果下雨,则菜价会上涨。菜价上涨了,因此下了雨。 证明:设 p: 下雨。q: 菜价上涨。 推理形式化:p→q, q? p ((p→q)∧q) →p ??((?p∨q)∧q)∨p ??(?p∨q) ∨?q∨p ?(p ∧?q) ∨?q∨p ??q∨p—非重言式 推理证明 2.如果丽莎今年工作表现好,她会得到奖金。如果她得到奖金,她会去度假。如果她去度假,她会去航海。丽莎没有去航海,因此她没有得到奖金。 证明:设 p:丽莎工作表现好。q:丽莎得到了奖金。r:丽莎去度假。s:丽莎去航海。 推理的形式化为:p→q, q→r, r→s, ?s? ? q 自然推理系统 定义3.3 自然推理系统P定义 1.字母表 (1) 命题变项符号:p,q,
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