周期为π的周期函数转换为傅里叶级数.ppt

本课件由王科设计、开发 * 第一节 函数及其图形 自然界的许多现象都具有周期性，如心脏的跳动、肺的运动、给我们居室提供动力的电流、电子信号技术中常见的方波、锯齿形波和三角波以及由空气的周期性振动产生的声波等等。 内容简介 5.1 周期为 的周期函数展开成傅里叶级数 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习 一、案例 [矩形波的叠加] 周期函数可表示为f (T+t)=f (t)，T为函数 F (t)的周期。如物理上“正弦振动”或 “简谐振动”的运动方程为 其中A为振幅， 为角频率， 为初相。 电子技术中常用的周期T的矩形波可看成若干个正弦波 叠加而成，如下图所示： 二、 概念和公式的引出 三角级数 由正弦或余弦函数组成的无限多项的和， 称为三角级数。它的一般形式为 其中 为常数。 傅里叶级数 存在，则称它们为函数f (x)的傅里叶系数，由傅里叶系数组成的三角级数 设f (x)是周期为 的周期函数，如果 称为傅里叶级数。 收敛定理 的周期函数f (x)满足条件 （狄利克雷充分条件） 若周期为 （1）在区间 连续或只有有限个第一类间断点； （2）在区间 只有有限极值点， 则函数f (x)的傅里叶级数收敛，且 （1）当是连续点时，级数收敛于f (x) ； （2）当是间断点时，级数收敛于 三、进一步的练习 练习1 [脉冲矩行波] 如右图所示，求此函数的 脉冲矩形波的信号函数f (x)是以 为周期 的周期函数，它在 的表达式为 傅里叶级数展开式。 解 用傅里叶系数公式计算傅里叶系数如下: 因为函数f (x)是奇函数，所以f (x) cosnx是奇函数， 因此f (x) cosnx 上积分为零．于是 于是，函数f (x)的傅立叶级数展开式为 由收敛定理知函数f (x)在 范围内与级数相等,即 当 此函数的傅立叶级数收敛情况如下图所示． 当n分别1,2,3,6取时，傅立叶级数的部分和Sn(x)图形与函数f (x)的方波逼近的情况，类似于本章开始演示的图形． 时，傅立叶级数收敛于 练习2 [脉冲三角信号] 已知脉冲三角信号f (x)是以 为周期的周期函数， 它在 的表达式为 如右图所示，将函数 f (x)展开成傅里叶级数。 解 因为函数f (x)是偶函数，所以f (x)sinnx是奇函数， 因此它在 上积分为零．于是 由于函数 f (x)在 上连续，所以 注：从以上几个例子可以得出下面结论： (1) 当函数 f (x)是以 为周期的奇函数时， 傅立叶级数只含正弦项，称为正弦级数． (2) 当函数f(x)是以 为周期的偶函数时， 傅立叶级数只含余弦项，称为余弦级数． 练习3 [锯齿脉冲信号] 如右图所示，将它展开成 设锯齿脉冲信号函数 f (x)的周期为 ，它在 的表达式为 傅里叶级数。