向量法求异面直线的夹角、线面角和二面角的平面角及距离.ppt

* * β a b A B C D 设异面直线a、b的夹角为θ cosθ = ? ? AB , CD cos | | = AB · CD · AB | | CD | | θ = ? ? AB , CD 或 θ =π－ ? ? AB , CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦 的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。 1 求直线和直线所成的角 一、用向量法求角 2、求直线和平面所成的角 β C B θ n 设直线BA与平面β的夹角为θ， n 为平面β的法向量, A g1 n 与向量 BA 的夹角为锐角g1 当 θ= β C B A θ n g2 n 与向量 BA 的夹角为钝角g2 当 θ= b a l q n1 n2 g 3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设 ? , ?= g n1 n2 设a —l —b的平面 角为q q =π－g b a l q n1 n2 g g 两个平面的法向量在二面角内 同时指向或背离。 b a l q n1 n2 g b a l q n1 n2 g 设 ? , ?= g n1 n2 设a —l —b的平面 角为q q =g 两个平面的法向量在二面角内 一个指向另一个背离。 二：向量法求距离 A B 1、已知A(x1 , y1, z1), B(x2 , y2, z2) |AB|= 其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。 2. 点到平面的距离 已知AB为平面a的一条斜线段, n平面a的法向量. 则A到平面a的距离 | | AB · n | | n d= α B C A n β a 3. 直线和它平行平面的距离 n 已知直线a∥平面β,求a到平面β的距离 A B 在a和平面β上分别任取一点A和B n 是平面β的一个法向量 直线a和它平行平面β的距离为 | | AB · n | | n d= β a 4. 两个平行平面间的距离 A B n | | AB · n | | n d= A、B分别是a、β上的任意点， n 是平面a、 β的一个法向量 a b a b A B 只需在两条异面直线a 、 b上 分别任取一点A、B。 设与a 、 b的方向向量都垂直的 向量为 n 则 n n · a =0 n · b =0 ∴ a、b之间的距离 | | AB · n | | n d= 3、求两条异面直线的距离 1 G K F E A B 1 C 1 D 1 C D B A z y x 例1：棱长为1的正方形ABCD— A1B1C1D1中,E,F,G,K分别是 棱AD,AA1,A1B1 , D1D的中点， ①求A1D与CK的夹角； ②求点B到平面EFG的距离； ③二面角G—EF—D1的大小 （用三角函数表示） ④ DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） ⑤求A1D与CK之间的距离。 解：以D为坐标原点 DA , DC , DD1 为单位正 交基底建立直角坐标系。 G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A z y x ①∵A1(1,0,1) D(0,0,0) C(0,1,0) ∴ DA1 =(1,0,1) ? , ? CK cos DA1 = | | CK · | | DA1 CK DA1· ∴ DA1 与CK的夹角为 ②求点B到平面EFG的距离； z y x G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A 设面EGF的法向量 =(x, y, z) n n · EG=0 n · EF =0 令x=1,得 =(1, 1,－1) n ∴点B到平面EFG | | BE · n | | n d= ③二面角G—EF—D1的大小 （用三角函数表示） z y x G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A 由②知面GEF的法向量 =(1, 1,－1) n 而面DAD1A1法向量 DC =(0, 1,0), ? , ? cos DC n 在二面角G—EF—D1内 是指向面GEF n DC 是背离平面DAD1A1 ∴二面角G—EF—D1为 ④ DD1与平面EFG所成的角； （用三角函数表示） z y x G K F E A 1 B 1 C 1 D 1 C D B A 由②知面GEF的法向量 =(1, 1,－1) n DD1 ∵ =(0,0,1) ? ,