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2.3.3 向量数量积的坐标表示 与度量公式 * * 问题： 如何用向量的长度、夹角反映数量积？ 如何用数量积、长度来反映夹角？ 向量的运算律有哪些？ 练习1：已知|a|=1，|b|= ， (1)若a∥b，求a·b； (2)若a、b的夹角为60°，求|a+b|； (3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角. 45° 练习2：设i，j为正交单位向量，则 ① i·i=_______ ② j·j=________ ③ i·j=________ 0 1 1 1.向量内积的坐标运算 a·b＝x1x2+y1y2. 若向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2)，则 推广1：设a=(x, y)，则|a|2=x2+y2或 (长度公式) 推广2：设A(x1, y1) 、B(x2, y2)，则 (距离公式) 推广3： cos? = （ ）(夹角公式) 2. 向量垂直的充要条件 已知两个向量a=(x1, y1)，b=(x2, y2) ，那么 a⊥b x1x2+y1y2=0 例1.设a = (3, ?1)，b = (1, ?2)，求a?b，|a|，|b|，和a, b 解： a?b = (3, ?1) (1, ?2)=3+2=5. |a|= |b|= cos a, b= 所以 a, b=45° 例2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(?2, 5)， 求证：△ABC是直角三角形 证明： =(1, 1), =(－3, 3) 所以 =－3+3=0， 即AB⊥AC， △ABC是直角三角形. 例3. 已知点A（1，2），B（3，4），C（5，0），求∠BAC的正弦值。 例4.已知a=(4,2) ，求与a 垂直的单位向量 。 解：设所求向量为(x, y), 则 解得 所求向量为 例5．已知点A（a，b）与点A’（b，a）,求证直线y=x是线段AA’的垂直平分线。 证明：设线段AA’的中点是M(x, y)，依据中点公式，有 由此得x=y，点M在直线y=x上， 在直线y=x上任取一点P(x, x) 所以 因此，直线y=x是线段AA’的垂直平分线. 例6. 已知a=(1, 0)，b=(2, 1)，当k为何实数时，向量ka－b与a+3b （1）平行；（2）垂直。 解：ka－b=(k－2, －1), a+3b=(7, 3), （1）由向量平行条件得3(k－2)+7=0, 所以k= （2）由向量垂直条件得7(k－2) －3=0, 所以k= *
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