向量数乘运算及其几何意义 (2)45.ppt

* * 向量数乘运算及几何意义 = A B C D + + (- ) (- ) (- ) - A B C D + + ＝ 思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ A B C D M 对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心 思考1：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ A B C D M 一、向量的数乘运算的定义： 注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向 (1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。 = 数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题. 三、向量的数乘运算满足如下运算律： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 例1：计算下列各式 思考2：若存在实数λ，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？ 思考3：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ A B P O 例2.如图：已知 ， ， 试判断 与 是否共线． ∴ 与 共线． 解： 向量 与非零向量 共线 有且仅有一个实数 ，使得 ． 三、定理 例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 三点共线。 提示：设AB = a BC = b 则MN= … = a + b MC= … = a+ b 基础知识反馈 C. A. B. (2). 设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ). D. (1). 下列四个说法正确的个数有( ). B.2个 A.1个 C.3个 D.4个 ? ? ? ? B C 例4:若 其中 , 是已知向量,求 ， 分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得 解：记 　①， ② 3②得 ③ ①-③得 例5 如图所示，已知　　 　说明 向量 与 的关系． 解： 因为 所以， 与 共线同方向，长度是 的3倍 o A B 问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化? 反馈演练： 1. 在 中,设D为边ＢＣ的中点,求证: Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 解：因为 （２） 所以，所证等式成立 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ E 过点B作BE,使 连接CE 则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点. 由向量加法平行四边形法则有 解2: 例6: 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 . E C O D B A 分析: 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 解：因为A是BC的中点，所以 （ C ） 分析:由 所以 在平行四边形ABCD中, ,M为BC的 中点,则 等于＿＿＿＿＿＿ (1) (2) A B C D