向量值函数在定向曲线上的积分.ppt

第三节 向量值函数在定向曲线上的积分 一、定向曲线及其切向量 二、问题的提出 三、第二类曲线积分的概念 二、第二类曲线积分的计算 概念与性质可以推广到空间曲线 概念与性质可以推广到空间曲线 三、两类曲线积分之间的联系： 四、小结 例7 其中 （可以推广到空间曲线上? ） 例 解 L的方程为 ? 原式 1、第二类曲线积分的概念 2、第二类曲线积分的计算 3、两类曲线积分之间的联系 * (第二类曲线积分) 二、问题的提出 四、第二类曲线积分的计算 三、第二类曲线积分的概念 一、定向曲线及其切向量 1、 带有确定走向的曲线称为定向曲线 用 表示起点为 A , 终点为 B 的定向曲线(弧). 2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致 . 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. 设一质点受如下变力作用 在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 “(分割)大化小” “(近似)常代变” “(求和)近似和” “取极限” 变力沿直线所作的功 解决办法: 动过程中变力所作的功W. 1) “(分割)大化小”. 2) “(近似)常代变” 把L分成 n 个小弧段, 有向小弧段 近似代替, 则有 所做的功为 F 沿 则 用有向线段 上任取一点 在 3) “(求和)近似和” 4) “取极限” (其中? 为 n 个小弧段的 最大长度) 2. 定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在定向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为向量值函数 或第二类曲线积分. 在L 上定义了一个向量函数 极限 记作 称为对 坐标x 的曲线积分; 称为对坐标 y 的曲线积分. 若记 , 对坐标的曲线积分也可写作 实例: 变力 F 沿曲线 L 所作的功 常力所作的功 分割 1.定义 记为： 即： 则： 3. 第二类曲线积分存在的充分条件： 4.第二类曲线积分的性质 1) 第二类曲线积分具有线性性质 2) 对于定向积分曲线弧的可加性 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 定理 基本思路: 计算定积分 转 化 求曲线积分 特殊情形 例1 解一： 例1 解二： 说明： 2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不一定小于上限 . 3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，要慎用对称性. 一般地，在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能否用对称性简化计算 . 例2 解: (1) L的参数方程为 则 (2) L 的方程为 则 被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同. 解 例2 例4 解 例5 解: 曲线 ? 的参数方程为 例6 解: 曲线 C 的参数方程为 * *