向量与矩阵的范数.ppt

北京理工大学高数教研室* 第一章 第一节 函数 第二章 范数理论 2.1 向量范数 定义：若对任意 都有一个实数 与之对应，且满足： （1）非负性：当 只有且仅有当 （2） 齐次性： 为任意数。 （3） 三角不等式：对任意 ， 都有 则称 为 上向量 的范数，简称向量范数。 例： 在 维线性空间 中，对于任意的向量 定义 证明： 都是 上的范数，并且还有 引理 设 均为非负实数，则总有 Holder不等式：设 证：令 ， ，其中 代入上述不等式，则有 Minkowski不等式：设 则对任何 都有 证明 以 代入下式 则 对上式由Holder不等式可得 此不等式两端同除以 ，根据 可得 几种常用的范数 定义：设向量 ，对任意的数 ，称 为向量 的 范数。 （1）1－范数 （2）2－范数(也称为欧氏范数) （3） －范数 利用向量范数可以构造新的向量范数。 例1 设 是 上的向量范数，且 ，则由 所定义的 是 上的向量范数。 定义 设 是 上定义的两种向量范数，如果存在两个正数 使得 则称向量范数 等价。 定理 上的任意两个向量范数都是等价的。 向量范数的应用： 定义：给定 中的向量序列 ，其中 如果 则称向量序列 收敛于 简称 收敛，记为 不收敛的向量序列称为是发散的。 定理： 中的向量序列 收敛于 的充要条件是对于 上的任意一种向量范数 ，都有 。 证明：设 则有 可见 的充要条件是 对于 上的任意一种向量范数 ，由等价性知 从而 的充要条件是 。 定义 对于任何一个矩阵 ，都有一个实数 与之对应，且满足 （1）非负性：当 ，当且仅当 （2） 齐次性： 为任意复数。 （3） 三角不等式：对任意 都有 2.2 矩阵范数 （4）相容性：对于任意 ，都有 则称 是矩阵 的范数。 例1 对于任意