同济大学微积分第三版课件第一章第一节.ppt

序言 * 微积分是一门以变量为研究对象、以极限方法作为基 本研究手段的数学学科. 应用极限方法研究各类变化率 问题和几何学中曲线的切线问题, 就产生了微分学; 应 用极限方法研究诸如曲边图形的面积等这类涉及到微小 量无穷积累的问题, 就产生了积分学; 可以说, 整个微 积分学是建立在极限理论的基础之上的. 由此可以理解 为什么每本微积分教程都以极限理论作为其开始部分的 在本章中, 我们将介绍极限的概念、性质和运算法则. 在本章的最后部分将引入一类最重要的函数—— 内容. 介绍与极限概念密切相关、且在微积分运算中扮演重要 角色的无穷小量; 我们还将求得两个应用非常广泛的重 要极限. 连续函数. 第一节 微积分中的极限方法 典型问题一 面积问题 解决方法 如图, 求由曲线 与 轴围成区域的面积. 1.将区间 等分, 分点依 次为 1 2.以这些分点为基础, 构作 个矩形, 并以矩形面积 之和来代替原来的曲边三角形面积. 由此得到 3.为了求得曲边三角形面积的精确值, 可以让分点增 注: 古希腊人正是用这种方法求曲边三角形的面积的. 加, 从而得到的矩形面积之和与曲边三角形面积充分接 近. 由此得到曲边三角形面积S. 典型问题二 瞬时速度问题 这个函数称为质点的位置函数. 我们需要确定该动点 1.匀速运动: 在匀速直线运动中, 我们知道路程与速 设某点沿着直线运动, 为动点从某一选定时刻到时 刻 所通过的路程, 则 是 的一个函数, 即 在各个时刻的“速度”（称为瞬时速度）. 度、时间的关系为 经过的路程 所化的时间 这里的速度 是一个常量. 2.非匀速运动: 在非匀速直线运动中, 上面的比值将 不再是一个常数. 为此我们考虑在时间段 , 动点 从 移到 , 相应的比值 *