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第一节 多元函数的基本概念 例3 讨论函数 3. 多元函数的极限 * 一、平面点集 n维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 第九章 多元函数微分学 点 P0 的去心邻域记为 1. 邻域 例如,在平面上, (圆邻域) 在空间中, (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径? ,也可写成 点集 称为点 P0 的?邻域. 一、平面点集 n维空间 在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域 平面上的方邻域为 。 可以互相包含. (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; ? 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 则称 P 为 E 的边界点 . 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 2. 区域 若对任意给定的? , 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) (2) 聚点 D ? 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； ? 若点集 E ? 边界 , 则称 E 为闭集； ? 开区域连同它的边界一起称为闭区域. ? 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 则称 D 是连通的 ; ? 连通的开集称为开区域; ? E 的边界点的全体称为 E 的边界; (3) 开区域及闭区域 例如，在平面上 开区域 闭区域 ? 整个平面是最大的开域 , 也是最大的闭域； ? 点集 是开集， 但非开区域 . o ? 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 P?D 与某定点 A 的距离 ?AP?? K , 则称 D 为有界域 , 界域 . 否则称为无 存在一圆盘,可覆盖整个区域,即为有界域 . 3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间, 记作 即 n 维空间中的每一个元素 称为空间中的 称为该点的第 k 个坐标 . 一个点, 当所有坐标 称该元素为 中的零元,记作 O . 中点 a 的 ? 邻域为 二、多元函数的概念 引例: ? 圆柱体的体积 ? 定量理想气体的压强 ? 三角形面积的海伦公式 定义1. 设非空点集 点集 D 称为函数的定义域 ;数集 称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数 当 n = 3 时, 有三元函数 映射 称为定义在 D 上 的 n 元函数 ,记作 例如, 二元函数 定义域为圆域 说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) ? D 图形为中心在原点的上半球面. 的图形一般为空间曲面 ? . 三、多元函数的极限 定义2. 设 n 元函数 点 , 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限) 当 n =2 时, 记 二元函数的极限可写作： P0 是 D 的聚 若存在常数 A , 对一 记作 都有 对任意正数 ? , 总存在正数? , 切 例1 设 求证： 证: 故 总有 要证 例2 设 求证： 证： 故 总有 要证 ? 若当点 不同值或有的极限不存在， 解 设 沿直线 趋于点 在点(0,0)的极限. 则可以断定函数极限不存 则有 k 值不同极限不同 ! 在 (0,0)点极限不存在 . 以不同方式趋于 在。 函数趋于 例4 求 解 这里函数 的定义域为 为 的聚点。 由积的极限运算法则，得 例5 求 而 解 因 则 故 仅知其中一个存在, 推不出其它二者存在. ? 二重极限 不同. 如果它们都存在, 则三者相等。 例如, 显然 与累次极限 但由例3 知它在(0,0)点二重极限不存在 . 四、 多元函数的连续性 定义3 . 设 n 元函数 定义在 D 上, 如果存在 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上 连续. 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续, 例如, 函数 在点(0 , 0) 极限不存在,故 ( 0, 0 )为其间断点. 又如, 函数 在圆周 上间断. 结论: 一切多元初等函数在定义区域内连续. 定理：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续, 则 * (4) f (P) 必在D 上一致连续 . 在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ; (3) 对任意 (有界性定理) (最值定理) (介值定理) (一致连续性定理) 闭域上多元连续函数有与一元