合肥工业大学高等数学上洛必达法则.ppt

25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 25-* 4.2 洛必达(LHospital)法则 4.2.1 型不定式 4.2.2 型不定式 4.2.3 其类 在第2章2.4中已经介绍，同一极限过程的两个无穷小之和、差、积均为无穷小．其商的极限则可能会出现各种情况，称之为型不定式. 同理，也有所谓的型不定式． 它们是极限理论的重要组成部分．在理论推导及其相关运算中都显得非常重要．本节根据柯西中值定理建立的洛必达法则正是解决型与“”型不定式的一种有效方法．进而还可以引伸到其它不定式上去． 4.2.1型不定式 定理4.2.1（洛必达法则Ⅰ）设函数满足 (1) 和在点的某邻域内可导，且； (2) ； (3) 存在(或无穷大)， 则有　　　　　． 证　因为在点的某去心邻域内可导，所以, 在此去心邻域内连续． 为方便起见，补充定义，那么在点及其邻域内连续． 在点的邻域内任意取一点，并在点与点为端点的闭区间上运用柯西中值定理，则有 ， 其中介于点与点之间． 如果，利用倒数关系，也很容易证明 . 续证　　　　　． 在上式两边令，有 ． 推论4.2.1 设函数满足 ⑴　当足够大时，可导，且； ⑵　； ⑶　存在(或无穷大)， 则有　　　　　． 证 令,再利用复合函数求导法则即可证明此推论. 注：定理4.2.1和推论4.2.1对单侧极限仍成立. 例4.2.1 求． 解 当时，这是“”型不定式，由洛必达法则Ⅰ， ． 例4.2. 2 求． 解 ． 例4.2.3　求． 解　当时，这是“”型不定式，由洛必达法则Ⅰ，有 右端还是型不定式，再一次使用洛必达法则Ⅰ,得 右端仍然是型不定式，继续使用洛必达法则Ⅰ，得 ． ． ． 例4.2.4 设函数在的某邻域内具有一阶连续导数，且，若在时是比高阶的无穷小，试确定的值. 解 由题意知，得． 因，故．　　　　　　　　　　　　　① 由洛必达法则Ⅰ，得 ， 因，故．　　　 　　　　　　　　　　② 联立①和②，解得． 定理4.2.2 （洛必达法则Ⅱ） 设函数满足 （1）在点的某一去心邻域内可导，且； （2）； （3）存在(或为无穷大)， 则　　　　　　　． 证明从略． 4.2.2 型不定式 注：当x→∞以及单侧极限时也有类似的结论． 例4.2.5 求． 解 当时，分子分母均无限趋于，由洛必达法则Ⅱ得 ． 例4.2.6 　求，其中为正整数，为正数． 解 这是型不定式，反复使用洛必达法则Ⅱ次， ． 例4.2.7 求，其中均为正整数． 解 同例4.2.6，反复使用洛必达法则Ⅱ次，得 ． 注： 由例4.2.6、例4.2.7知，如果为正整数，则当时，虽然有，但 远远大于, 远远大于． 有时也可记成；当时， ． 使用洛必达法则的几点注意事项： 例如　． (1) 定理4.2.1、定理4.2.2只能用来解决“”或“”型的不定式，因此每次使用法则时，必须检验是否属于这两种不定式，如果已不是这两种不定式之一，则不能再使用洛必达法则． 如果盲目地继续使用洛必达法则，就出现下面的错误. 　． (2) 当不存在，且也不是无穷大时，即定理4.2.1和定理4.2.2的第三个条件不满足时，不能断言不存在，因此不能使用洛必达法则． 例如　虽然不存在，且也不是无穷大，但不能断言不存在． 事实上， ． 例4.2.8 求． 解 因为当时，，所以 ． (3) 每使用一次洛必达法则，都要及时化简．并在计算过程中，适时地与等价无穷小代换定理和极限运算法则结合起来使用． 如果本例只用洛必达法则，计算过程将是冗长的，读者不妨一试． 例4.2.9 求． 解 ． 例4.2.10 设且,求． 解　 ． 上面讨论的“”型和“”型不定式是不定式的两种基本形式，还有其它类型的不定式，如型不型式等． 4.2.3 其类 对于这些类型的不定式的极限，我们处理的基本思想是通过变形将其转化为“”型或“”型不定式来计算． 下面通过举例一一说明． ㈠ 型 基本思路：利用无穷小与无穷大的关系将化为“”型或“”型，即或，再利用洛必达法则. 例4.2.11 求，其中常数． 解　这是型不定式，将其转化为“”型不定式，则 ． 注： 如果将其转化为 “”型不定式，则不能求解．因此选择转换类型非常重要． 例4.2.12 求． 解 ． ㈡型 基本思路：利用恒等变形（包括变量代换）将型化为“”型，再通分化为型，即“”“”，再利用洛必达法则计算． 例4.2.13 求 解 这是型不定式，故 ． 例4.2.14 求． 解 这是型不定式．令，则时，． ． 型不定