合肥工业大学高等数学上微积分基本定理与牛顿莱布尼兹公式.ppt

23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 23-* 牛顿 （1642-1727） 莱布尼茨 （1646-1716） 23-* 23-* 23-* 利用定积分定义求某些数列极限的方法 熟记 23-* 23-* 5.2 微积分基本定理与牛顿-莱布尼兹公式 5.2.1 从实例看微分与积分的联系 5.2.2 微积分基本定理微分形式 5.2.3 微积分基本定理积分形式 5.2.1从实例看微分与积分的联系 在变速直线运动的路程问题中，设物体运动速度是时间间隔上的连续函数，则在时间间隔中物体所运动的路程为 ． 现在换一个角度来考虑该问题． 因此有 ． 设物体运动的路程函数为，那么该物体在中所走过的路程又为 ． 如果视为固定时刻，为任一时刻，则，（5.2.1） （5.2.2） 注意到，由（5.2.2） ． （5.2.1） 5.2.2 微积分基本定理微分形式 ㈠ 积分上限函数 设函数在上可积，由定理5.1.2知，对任意的，在上可积，在上的积分为，因此对每一个，都有惟一确定的值与之对应，所以是的函数． 定义5.2.1 设函数在上可积，称函数为积分上限函数，或变上限积分，记为，即 ，． 注1：在积分上限函数中，的取值与积分变量无关，如． 注2： 将积分上限函数与复合函数结合起来，可得到一类函数，称为积分变限函数． 例如 ，， 等等均为积分变限函数． ㈡ 微积分基本定理微分形式 定理 5.2.1 ⑴ 设函数在上可积，则积分上限函数在上连续． ⑵（微积分基本定理微分形式）设函数在上连续，则在上可导，且． 证　设为上的任意一点，为点处的增量，且，则有 ． 续证 ⑴ 由于在上可积，故在上有界．即存在非负实数，使得对任意的，有，进而 ， 由夹逼定理，得，故在点处连续．由的任意性，知在上连续． 续证 ⑵ 因为在上连续，所以由积分中值定理知， ， 其中或，当时，总有．因此有 ， 所以点处可导，且．由的任意性，即知在上可导，且． 在定理5.2.1的证明过程中，已将端点和处的情况包含在内，届时只需考虑或即可． 推论5.2.1 设函数在上连续，在上可导，则积分变限函数在上可导，且 ． 特别地 ． 例5.2.1 求的导数． 解 ． 例5.2.2 求． 解 由于为连续函数，故 ， 原式 因此此极限为型不定式，由LHospital法则，得 再如 ． 例5.2.3 设在上连续，且，证明方程 在内有且只有一个实根． 证 令，显然在上可导，由于，则 ， ， 故由零点定理知，在内至少存在一点，使，即方程在内至少存在一个实根． 续证 又，可知在在上单调增加，故方程在内至多存在一个实根． 综上，方程，即在内有且只有一个实根． 例5.2.4 设函数在上二阶可导，且证明 ． 证 ⑴ 令，，则在上可导，当时，有 其中．因为，所以，进而，表明在上单调增加，故，即有． 续证 ⑵ 令，， 则在上二阶可导．当时，有 ， ． 因此，在上单调下降．从而，当时，，进而可知在上单调下降，故 ，即． 例5.2.5 求的极值点． 解 ，令，解得驻点为 ． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 因此，的极大值点为和， 极小值点为． 5.2.3 微积分基本定理积分形式 ㈠ 原函数 定义5.2.2 对于区间上（内）的，如果存在可导函数满足，或，就称为在区间上（内）的一个原函数． 例如 是的一个原函数； 是的一个原函数； 是的一个原函数等等． 综上 如果为的一个原函数，则（为任意常数）为所有的原函数． 注2 的任意两个原函数之间相差一个常数，即如果 均为的原函数，则有. 注3 如果在上连续，则为的一个原函数． 注1 如果为的一个原函数，则（为任意常数）为的原函数． ㈡ 微积分基本定理积分形式 定理5.2.2 （微积分基本定理积分形式）设函数在上连续，为在上的一个原函数，则 ． 证 因为为在上的一个原函数，而也为 在上的一个原函数，则有 （其中为某个常数）． 令，可得，所以， 再令，由于定积分与其积分变量的符号表示无关，得 ． 称为牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，其中常记为，即 ． 牛顿-莱布尼兹公式是高等数学乃至整个数学领域中最优美的结论之一．它形式简单，却揭示了定积分和被积函数的原函数之间的关系，将求函数在上的定积分转化成计算其原函数在上的增量，从而给定积分的计算提供了一种全新的计算方法． 例5.2.6 由于，，因此是的一个原函数，是的一个原函数，由牛顿-莱布尼兹公式可得 ； . 例5.2.7 计算定积分． 解 由于，所以是的一个原函数，故得 ． 例5.2.8 计算定积分，并求极限． 解 由于，所以是