自动控制原理第3章.ppt

调节时间ts: 在响应曲线的稳态线上, 用稳态值的百分数(通常取5%或2%)作一个允许误差范围, 响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内所需的时间。 最大超调量σp: 设阶跃响应的最大值为c(tp), 则最大超调量σp可由下式确定: 3.5 线性系统的稳定性分析 本节重点： 1）稳定性的基本概念； 2）线性定常系统稳定性的充分必要条件； 3.5 线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的基本概念 设一个线性定常系统原处于某一平衡状态, 若它瞬间受到某一扰动的作用偏离了原来的平衡状态, 当扰动消失后, 如果系统还能回到原有的平衡状态, 则称该系统是稳定的。 反之, 系统为不稳定的。 单输入、 单输出线性定常系统传递函数的一般形式为 系统的特征方程式为 如果特征方程的所有根都是负实数或实部为负的复数, 则微分方程的解是收敛的; 如果特征方程存在正实数根或正实部的复根, 则微分方程的解中就会出现发散项。 3.5.2 线性定常系统稳定性的充分必要条件 结论: 线性定常系统稳定的充分必要条件是： 特征方程式的所有根均为负实根或其实部为负的复根, 即特征方程的根均在复平面的左半平面。 设控制系统的特征方程式为 (3.42) 首先, 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的必要条件是: 控制系统特征方程式式的所有系数ai(i=0, 1, 2, …, n)均为正值, 且特征方程式不缺项。  其次, 劳斯稳定判据给出控制系统稳定的充分条件是: 劳斯表中第一列所有项均为正号。 3.5.3 劳斯稳定判据 如果特征方程式所有系数都是正值, 将多项式的系数排成下面形式的行和列, 即为劳斯表: 这个过程一共进行到第n+1行为止。 因此, 采用劳斯判据判断系统的稳定性时, 如果必要条件不满足(即特征方程系数不全为正或缺项), 则可断定系统是不稳定或临界稳定的; 如果必要条件满足, 就需要列出劳斯表, 检查表中第一列的数值是否均为正值, 如果是, 则系统稳定, 否则系统不稳定, 并且系统在复平面右半平面极点的个数等于劳斯表第一列系数符号改变的次数。 【例 3-3】 设控制系统的特征方程式为  试用劳斯判据判别系统的稳定性。  解 列劳斯表 由于该表第一列系数的符号变化了两次, 因此该方程中有两个根在复平面的右半平面, 故系统是不稳定的。 【例 3-4】 设有一个三阶系统的特征方程 式中所有系数均为正数。试证明该系统稳定的条件是 a1a2＞a0a3。  证明 上式对应的劳斯表为 根据劳斯判据, 系统稳定的充要条件是劳斯表第一列系数均大于零。 所以有 a1a2＞a0a3 【例 3-5】 考虑图3-11所示的系统, 确定使系统稳定的K的取值范围。 图 3-11 控制系统框图 解 由图3-11可知, 系统的闭环传递函数为 所以系统的特征方程为 由稳定的必要条件可知, K＞0。 列劳斯表如下: 根据劳斯判据, 系统稳定必须满足 因此, 使系统闭环稳定的K的取值范围为 当K=14/9时, 系统处于临界稳定状态。 在运用劳斯稳定判据分析系统的稳定性时, 有时会遇到下列另外两种情况:  (1) 在劳斯表的某一行中, 出现第一个元为零, 而其余各元均不为零, 或部分不为零的情况;  (2) 在劳斯表的某一行中, 出现所有元均为零的情况。  在这两种情况下, 表明系统在复平面内存在正根或存在两个大小相等符号相反的实根或存在两个共轭虚根, 系统处在不稳定状态或临界稳定状态。 第一种情况, 可用一个很小的正数ε代替为零的元素, 然后继续进行计算, 完成劳斯表。  系统的特征方程为 其劳斯表为 因为劳斯表第一列元素的符号改变了两次, 所以系统不稳定, 且有两个正实部的特征根。 第二种情况, 先用全零行的上一行元素构成一个辅助方程, 再将上述辅助方程对s求导, 用求导后的方程系数代替全零行的元素, 继续完成劳斯表。  例如, 系统的特征方程为 劳斯表为 →辅助方程2s2+2=0 ←辅助方程求导后的系数 由以上可以看出, 劳斯表第一列元素符号均大于零, 故系统不含具有正实部的根, 而含一对纯虚根, 可由辅助方程2s2+2=0解出±j。 3.6.1 误差与稳态误差 图 3-12 控制系统的一般结构 3.6 控制系统的稳态误差 3.3.2 二阶系统的单位阶跃响应 令r(t)=1(t), 则有R(s)=1/