自动控制原理第2章控制系统的数学模型.ppt

第2章 控制系统的数学模型 2.1 列写系统的微分方程 2.2 传递函数 2.3 系统的动态结构图 2.4 动态结构图的等效变换 2.5 信号流图与梅逊公式 2.6 系统的传递函数 习题 2.1 列写系统的微分方程 　微分方程是在时域中描述系统动态特性的数学模型。 列写系统的微分方程是建立数学模型的重要环节。 研究控制系统时常用的传递函数、 动态结构图等都是在微分方程的基础上衍生出来的。 一般线性定常系统或元件的典型形式为 ? 2.1.1 机械系统 例2.1 带阻尼的弹簧系统如图2-1所示， 试列写系统的微分方程。 解 (1) 明确输入、 输出量。 外作用力F为输入变量， 位移x为输出变量。 (2) 建立输入、 输出量的动态联系。设质量m相对于初始平衡状态的位移、 速度和加速度分别为x、 dx/dt和d2x/dt2。 根据牛顿定律得 其中， k为弹簧的弹性系数， f为阻尼器的粘性摩擦系数。 (3) 整理, 得系统数学模型： 2.1.2 电路系统 例2.2 已知一RLC电路如图2-2所示， 试列写其微分方程。 解 (1) 明确输入、 输出量。 uo(t)为输出量， ui(t)为输入量。 (2) 建立输入、 输出量的动态联系。 (3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 由式(2-5)得 2.1.3 机电系统 　 例2.3 已知一他励直流电动机系统如图2-3所示， 试列写其微分方程。 图中， u(t)为电枢电压； Ea为反电动势； Ia为电枢电流； Ra为电枢电阻； La为电枢电感； M为电磁力矩； Ω为电机角速度； J为电动机总的转动惯量； f为电动机和负载折算到轴上的等效粘性阻尼系数； If为励磁电流（常数）。 　　 解 (1) 明确输入、 输出量。 输出量为Ω， 输入量为u(t)。 (2) 建立输入、 输出量的动态联系。 在他励直流电动机系统中有机械运动及电磁运动， 二者之间还存在耦合。 根据几种关系建立的输入、 输出量的动态联系为 机械运动： 机电之间的耦合关系： Ea=CeΩ 　　　　 　 （2-９） M=CmIa 　　 　　　 （2-10） 其中， Ce为电动机电势常数； Cm为电动机力矩常数。 (3) 消去中间变量， 得到系统的数学模型。 消去中间变量Ea、 Ia和M, 得 当电动机的电感La和粘性摩擦系数f较小时， 二者对系统的动态影响可以忽略不计， 则式(2-11)可以简化为 2.1.4 非线性方程的线性化 　严格说， 现实系统中的元件几乎都具有不同程度的非线性， 所以对于系统的输入变量和输出变量之间的关系来说， 其实应该用非线性动态方程来加以描述。 但是在大多数情况下， 非线性因素都比较弱， 可以将它们近似为线性元件， 然后用线性微分方程加以描述。 然而， 有的元件的非线性程度较为严重， 如果简单地将它们看作线性元件， 则会使建立的数学模型与实际情况偏离过大， 从而导致分析结果出现错误。 通常采用“小偏差法”对非线性方程进行线性化。 应用“小偏差法”的条件是输入变量和输出变量的函数及各阶导数值在预定的工作点附近都存在。 该方法的实质是在一个很小的范围内将非线性曲线用一段直线来代替。 方法如下。 设非线性函数y=f(x)， 其特性如图2-４所示。 图中， A点为工作点， y0=f(x0)。 x、 y在工作点附近做小范围增量变化， 即当x=x0+Δx 时， 有y=y0+Δy。 则函数y=f(x)在工作点附近可以展开成泰勒级数： 当Δx很小时， 可以忽略上式的高次项， 则式(2-13)可以改写为 y=f(x0)+f′(x0)Δx 　　　 　（2-1４） 或 y-y0=f′(x0)Δx 　　　　 　（2-15） 即 Δy=f′(x0)