第四章函数的插值与拟合法.ppt

4.4.2 数据的多项式最小二乘拟合 yn --- yi+1 yi yi-1 --- y1 y0 y xn --- xi+1 xi xi-1 --- x1 x0 x 已知一组数据： 解 ------这个多项式称为这组数据的 最小二乘拟合多项式 * 第四章 函数的插值与拟合法 4.1 引言 4.2 插值多项式的构造 4.3 分段低次插值 4.4 最小二乘法 定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不 相同的点 上取值 .求一个性态较好的简单函数P(x) ，使 得 则称P(x)为f(x)的插值函数 [a,b]----插值区间 ----插值节（结）点 f(x)----被插函数 （4-1）----插值条件 求插值函数P(x)的方法----插值法 一、插值函数 4.1 引言 y x o 插值 (1)当P(x)为次数不超过n次的代数多项式时，相应的插值法称为 多项式插值； (2)当P(x)为三角多项式时，相应的插值法称为三角插值； (3)当P(x)为分段解析函数时，相应的插值法称为分段插值。 其中三角插值主要用于处理周期函数。 本章仅介绍最基本的多项式插值。 定理 4.1 在 n+1 个互异点 上满足插值条 件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式 存在且惟一。 所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 存在且惟一，证毕。 证 二、多项式插值的唯一性 设 有 4.2 插值多项式的构造 一、基本插值多项式 定义 下列表函数 的插值多项式 叫做以 为节点的基本插值多项式。 由定义可知 0 xn 0 xi+1 1 xi 0 xi-1 --- --- 0 0 y --- --- x1 x0 x 4.2.1 拉格朗日插值多项式 (4-4) 解 ------n次Lagrange插值基函数 注：1. n+1个节点n+1个基本插值多项式。 2. 仅与节点有关，与f(x)无关。 二 、Lagrange插值多项式 求下列列表函数的多项式Ln(x) yn xn yi+1 xi+1 yi xi yi-1 xi-1 --- --- y1 y0 y --- --- x1 x0 x -----n次拉格朗日插值多项式 解 线性插值(n=1)， 抛物插值 (n=2) 注：1. 是 的线性组合。 2. 与节点的排列顺序无关。 例：已知列表函数 ,并计算f(0.5)的计算值。 解： -5 1 1 1 y 2 1 0 -1 x 三、Lagrange插值多项式的余项 定理 4.2 （误差估计定理） 注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式 （2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。 推论 例 4.1 给定函数表 试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。 0.530628 0.470004 0.405465 0.336472 0.262364 0.182322 lnx 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 x 解 作线性插值 得 作抛物插值 4.2.2 牛顿均差插值多项式 一、均差，均差表 定义 设 f(x) 在[a,b]上连续，及自变量 节点 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差 五阶均差 例 4.3 试用列表法对下例表格函数求 f[1, 3, 5, 7] 9 -59 -71 -59 -39 -19 -3 7 10 f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x 列表计算得 1.125 -1.75 5 -13 -20 0 7 -19 -59 -59 1 3 5 7