第六章数学解题理论概述.ppt

唐以荣教授指出:“题目的复杂部分之所以能够连续化简,那是由于复杂部分本来由若干简单部分组成,完全可以作到每步化简都有充分根据,稳扎稳打,用不着猜想.当题目的已知条件在两项以上时,之所以能连续化简,是因为:可以把二项(或一项条件与另一项条件的明显的推论)联系起来引出过渡性结论,而这一过渡性结论又能与其他的条件(或它的明显的推论)联系起来,引出新的过渡性结论--这样连续下去,就得到通向结论的一系列过渡性结论”. * * 第六章 数学解题理论概述 数学解题方法论主要是研究和讨论数学解题的一般规律、法则和方法的学科，是关于解题和寻找解题方法途径的研究。 　解题是数学教师的基本功，美国数学家哈尔莫斯指出：“问题是数学的心脏,数学家存在的理由就是解问题。因此，数学的真正的组成部分是问题和解”。著名的数学家波利亚也曾说过，“掌握数学就意味着善于解题”，“中学数学教育首要的任务就是加强解题训练”。 名师出高徒,要培养学生的解题能力,教师首先要有高超的解题能力。一名优秀的数学教师,必须具备良好的数学专业素养和精湛的教学艺术,而解题基本功不仅仅是数学专业素养的构成因素,同时也是教学艺术的某种体现。 §1 数学问题及其类型 一、数学问题的含义 1、数学问题是一种需要行动的情况 波利亚在《数学的发现》一书中指出，“有问题指的是，有意识地寻求某一适当的行动以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。” 2、数学问题是一种情境 尼斯Niss指出，一个数学问题是一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程序或算法的未解决问题的情景。 3、数学问题是一种题系统 　　奥加涅相认为，研究系统（S,R），其中S代表某个主体，R代表某个构成一个抽象系统的几何，称集合R为题系统。 4、数学问题是一种集合 　　斯托利亚尔在《数学教育学》中指出，用数学术语记号叙述某一个“对象领域”，这种对象领域可以用一个或几个集合，这几个集合能并成一个全集，与其中规定的谓词构成的问题称为数学问题。 5、数学问题是一种以潜问题的形式被主题数学心理场所感知的数学模式序缺 王秋海先生提出，数学模式序缺是数学问题产生的根源，这种模式序缺以潜在的形式独立存在于数学模式之中，只有被人们的数学心理场感知方向方可称为真正的数学问题。 所有的问题都会有三种成分: ①给定(Givens),即一组给予的信息; ②目标(Goals),问题要求的或结尾的状态,即关于构成问题的结论描述; ③障碍(Obstacles),思维者无法立即找到正确的答案,必须通过一定的方式来改变给定状态,逐步达到目标要求. 　　问题的一般含义： 给定的信息和目标之间有某些障碍需要加以克服的情景。 二、数学问题的特征 数学问题具有以下特征: （1）客观性:数学问题对于主体来说就是一种客观的存在,所以,主体在接受问题时,必然会对问题产生感知和理解. （2）障碍性:数学问题对于主体来说具有一定的困难,用习惯的反应和模式会失败,于是可能出现多次失败的尝试. （3）挑战性:数学问题一旦为个人所感知,就对人的智能构成了一种挑战,迫使他探索新的处理方法. 三、数学问题的类型 1、弗里得曼的三分法:即按数学的问题的外在形式可以分成求解题、证明或说明题、变换题或求作题. 2、系统要素分类法:按照奥加涅相等人的观点,数学问题是一个系统,其构成要素主要有四个:问题的条件，问题的结论、解题的方法、解题的依据. 根据题目系统中要素的已知情况,可以将数学问题分为标准性题、训练性题、探索性题和问题性题四类. 四个要素都为已知的题即为标准性题.如果四个要素中有一个要素未知,其余三个要素已知,这样的题称为训练题.如果四个要素中有两个要素已知,其余两个要素未知,则称这样的题为探索性题.如果四个要素中仅有一个要素是学生已知的,其余三个都是学生所不知道的,这样的题称为问题性题. 3、成分分析分类法 : 任何一个数学问题的陈述,都是由某些题设条件和问题的要求等两部分组成的,即初始状态和目标状态,系统由初始状态向目标状态运动变化过程的发现,即是解决问题的过程.从而,对于一个数学问题,我们可以把它分解成三个基本成分: A.初始状态—问题的条件； B.解决问题的过程—根据一定的知识经验,变换问题的条件,向结论过渡; C.最终状态—问题的结论. 这样可以将数学问题分为三类:标准题、封闭性变式题、开放性变式题.