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第五章 边界层理论 王连登 liandeng@fzu.edu.cn第五章 边界层理论 平面层流边界层微分方程 边界层内积分方程 平板绕流摩擦阻力计算 ?要求重点掌握内容： 平面层流动边界微分方程、边界层内积分方程。（以上内容也是难点） ?要求一般掌握内容：边界层理论的基本概念、平板绕流摩擦阻力计算。 概 述 实际流体流动无论是层流还是湍流，真正能够求得解析解的例子很少，主要是由于流体流动的控制方程是非线形的偏微分方程，处理该类方程目前也是科学界的一大难题，但我们可以有近似的处理方法，方法之一是在假设条件下获得简化的微分方程并用数值法求解，方法二是针对湍流流动划分为边界层和中心区。 在实际工程中大多数问题是流体在固体限制的区域内的流动，远离固体壁面区域的流体速度梯度很小，这样我们可以把远离边壁的大部分流体处理为无粘性流体（基于速度梯度小，粘性力可忽略），用欧拉方程或伯努利方程求解；在靠近边壁处一个薄层，速度梯度大，不可忽略粘性力，但可以利用边界层很薄的特点，把控制方程进一步简化，这样整个区域划分为——中心理想流体与边界层流层即边界层。 边界层又称普朗特边界层，1904年由普朗特提出。 5.1 边界层的概念 在实际流体的流动过程中，Re数无论多大，在物体表面上速度=0，在离开壁面一段距离后，流体的速度V=远方来流的速度Vf。 即：在壁面附近存在一个速度梯度很大的薄层区域，称为边界层。 一. 边界层内的流动特征 1）层流边界层和湍流边界层 判断流体的流动状态是：Re数。从管流中我们已经知道：当Re数＜2300是层流；当Re数＞2300是紊流。 在边界层内同样也存在着层流和紊流两种流动状态，同样用Re数的大小来判断，此时的Re数的形式为： 流经平板时： ， —流体进入平板的长度 层流 湍流 ∴当时， （ 对应于 时的 ）边界层内为层流流动，这一区域为层流区，随 增加，边界层厚度增加。 当 时，开始进入过度区。 当 时，进入湍流状态，边界层厚度随进流长度的增加而迅速增加。 （注意：边界层与层流底层的区别） 由此可知：当x小时，Re数小，平板前沿为层流； 当x大时，Re数大，平板后部为紊流。 即：边界层内起初为层流，当边界层厚度δ增大到一定值后，边界层内出现紊流。 2）层流边界层和湍流边界层速度分布 层流边界层和湍流边界层速度分布见图 比较X方向和Y方向的量：平板的长度L和边界层的厚度δ的大小。 边界层的厚度δ平板的长度L 即 是一个微量，这是边界层的一个重要特征。 当来流速度和扰动均较大时，流体流入后很快进入紊流状态，层流区则很短。当来流速度分别为V1＜V2＜V3 时的边界层如图 管流边界层：当流体速度较小时 在流体速度较大时，如图 流动则由层流变为紊流，在层流边界层的厚度还未达到管轴之前即进入向紊流转变的过渡区，而后，于紊流区仅保持了厚度较小的层流底层，大部分空间为紊流核心所占据。 靠管壁并随流入深度增加层流流层厚度增加，在L后到达管轴，以后，在整个管道截面上均保持层流流动，截面的速度呈抛物线分布 普朗特边界层理论要点： ⑴大 下，分为两大区域——边界层与主流层。 ⑵外部区 流动视为理想流体运动→欧拉方程，视为无旋。 ⑶粘性力仅在边界层有作用，边界层很薄，纳维—斯托克斯方程简化为边界层方程。 ⑷分界线为来流方向的速度分量与来流相差1%时。 ⑸穿过边界层时压力不变。 注意：层流与湍流据有无脉动而划分。 边界层：根据有无速度梯度划分。 通常规定：u=0.99 u∞的位置为边界层的外边界线 5.2 平面层流边界层微分方程 以不可压稳态层流边界层为例： 1.微分方程建立与简化： 控制方程（二维，不可压，稳态，层流，不考虑质量力） 连续性方程 N-S方程 X方向 Y方向 按边界层概念: 边界层以外势流区的速度u∞不变,所以也不存在压力梯度 进一步简化： H.布拉修斯对上述方程组进行了解析,引入流函数ψ(x,y),将偏微分方程组化为可以解的常微分方程： 为二次项的系数 A2为系数,可由边界条件决定 由上式可推出边界层厚度: 5.3 不同条件下边界层厚度与摩擦阻力系数 平板层流中速度分布与边界层厚度关系: 不可压层流平板绕流摩擦阻力系数