等差数列前n项和 第一课时.doc

等差数列前项和 要求学生掌握等差数列的求和公式，并且能够较熟练地运用解决问题． 教学重点： 等差数列的前n项和公式． 当已知等差数列的首项和末项,则前n项和公式:Sn= 当已知等差数列的首项和公差,则前n项和公式为:Sn= 设数列{an}是等差数列其奇数项之和为S奇偶数项之和为S偶，那么当项数为偶数2n时，S奇-S偶=nd，S奇/S偶=an/an+1;当项数为奇数2n+1时，S奇-S偶=an+1, S奇/S偶=n+1/n.． 教学难点： 1．推导等差数列前n项和公式的思路． 2．等差数列求和公式的推导，采用了倒序相加法，思路的获得得益于等到差数列任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识和发现． 教学过程： 一、引言 著名的数学家高斯（德国 1777-1855）十岁时计算1+2+3+…+100的故事。 故事结束：归结为 1．这是求等差数列1，2，3，…，100前100项和 2．高斯的解法是：前100项和 即． 二、提出课题 等差数列的前项和． 1．证明公式1 证明： ① ② ①+②： ∵ ∴ 由此得： 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性． 2．推导公式2 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公式要求必须具备三个条件： （有时比较有用）总之：两个公式都表明要求必须已知中三个． 三、例题分析 例1．求集合的元素个数，并求这些元素的和． 解：由得 ∴正整数共有14个即中共有14个元素 即：7，14，21，…，98 是 ∴ 答：略 例2．已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？ 解：由题设： 得： ∴ 四、本课小结 等差数列求和公式． 五、练习题 1．已知等差数列{an}，（1）a1=,d=,Sn=-5,求n与an (2) a1=4,S8=172,求a8和d. 2．求在1000以内的（小于等于1000）自然数中，能被2整除，但不能被6整除的所有自然数的和． 分析：能被2整除的数显然是公差为2的等差数列，能被6整除的数一定能被2整除，且是公差为6的等差数列。所以此题只要分别求出1000以内的自然数中的被2整除和能被6整除的自然数的和，然后求差即为所求． 3．设等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn,S’n,且，求． 4．在等差数列中{an}，若a1=25，n项和入手，可用配方法求最值，也可用顶点坐标求最值；二是依据等差数列汉d0时，一定为递增数列；当d0时，一定为递减数列。所以只当a10,d0时无穷等差数列的前n项和才有最大值，而最大值是将所有非负项求和，只有当a10,d0时无穷等差数列的前n项和才有最小值，最小值是将所有非正项求和． 5．（1）已知数列{an}的通项为an=26-2n，若要此数列的前n项之和Sn最大，则n的值为 ． （2）等差数列{an}中，a5+a16=30,则S20等于 ． （3）实数a,b,5a,3b,…,c组成等差数列，且a+b+5a+7+3b+…+c=2500,则a,b,c的值分别为 ． 6．（1）在-9和3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列。则n= ． (2)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为 ． 7．求在小于等于1000的自然数中，被7除余2的所有自然数之和． 8．某车间全年共生产2250个零件，现知1月份生产了105个零件，若生产零件的个数每月递增，求平均每月比前一个月多生产多少个零件？12月份生产多少个零件？ 9．已知一个共有n项的等差数列前4项和为26，末4项和为110，且所有项之和为187，求n的值． 10．求证：数列{an}的前n项之和Sn=an2+bn(a,b为常数)的充要条件是这个数列成等差数列． 11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a13=12,S120,S130. 求公差d的取值范围； 指出S1,S2,S3, …S12中哪一个值最大，并说明理由． 1