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第五章 向量和复数 §5．1 向量的概念及线性运算 能力目标 正确认识向量的概念，掌握向量的线性运算。 任务提出 如图5-1所示，小船从A点以速度v1=4km/h、向正北开进，同时河水以速度v2=3km/h向东流，求小船的实际运动速度v。 任务分析 由实践经验可知，小船大致驶向B点的方向，这说明小船的实际速度v，既不等于v1，也不等于v2，但是又和它们有内在的联系，我们究竟怎样才能求出小船的实际速度v呢？事实上，速度和力、位移一样是一种既有大小又有方向的量，数学上叫做向量（只有大小没有方向的量叫做数量），它们具有与数量不同的性质和运算法则，要解决这个问题，必须对向量及其运算法则具有正确的认识。 知识探究 一、 向量的概念 数学上把既有大小又有方向的量叫做向量，通常用带箭头的线段（叫做有向线段）来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向（如图5-2），记作向量，或黑体字母a，在手写体中用。 正确理解向量的概念，要注意以下几点： 1）向量有两个要素：大小和方向；向量的大小也叫做向量的模，记作||、|a|或||。 2）模为零的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。 3）模为1的向量叫做单位向量。 4）模相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a = b 。 5）模相等且方向相反的向量叫做相反向量，记作a = -b ,零向量0的相反向量仍然是0。 6）方向相同或相反的向量叫做平行向量（或共线向量），记作a∥b ；零向量与任何向量平行，即对任何向量a，都有a∥0 。 7）两向量a 、b的夹角为900时，称为a 、b相互垂直，记作a⊥b 。 例1 在图5-3中的向量中，找出模相等的向量,相等的向量，相反向量，平行的向量。 解：（1）||＝||，|| =||＝||，|| =||。 （2）＝，＝。 （3） = －， = －。 （4）∥，∥∥。 二、向量的线性运算 1、向量的加法 已知两个向量a 、b （如图5-4),在平面内任取一点O,作 = a , = b ,则向量 叫做 a ,b的 和,记作a + b ,即 = a + b （如图5-5）。 求向量和的运算，叫做向量的加法。上述通过作图求向量和的方法，叫做三角形法则。 2、向量的减法 已知两个向量a 、b ，我们把a – b 叫做a 、b 的差，并规定:a – b = a +(-b)，即减去一个向量,就是加上这个向量的相反向量 。 求向量差的运算，叫做向量的减法。于是，求作向量差的方法为：在平面内取一点O (取在a的起点）,作 = a , = - b ,则向量 = a +(– b)= a – b（如图5-7）。 另外，还有求作a – b的另一种方法，如图5-8 (实线部分),请同学们自己写出图5-8的作图步骤。 例2已知两个向量 c、d ，求作向量 c – d 。 解：做法1 ： 取c 的起点为O,作 = c , = -d ,则向量 = c - d (如图5-9 虚线部分)。 做法2 ：取c 的起点为O,作 = c, = d ,则向量 = c – d (如图5-9实线部分) 。 3、向量的数乘 我们规定，任意实数λ与向量a的乘积λa 叫做向量的数乘。它的大小与方向规定如下： （1）｜λa｜=｜λ｜﹒ = v1 , = v2 ,则向量 = v 。 ∵ |v1|=4，|v2|=3，v1⊥v2 ； ∴|v|= = 5（km/h）； ∵tanθ= = ； ∴θ≈36.90； 答：小船的实际速度大小为5km/h,方向为北偏东约36.90。 特别提示:在三角形法则中,因为“O ”点的位置是任意的，如果把一个向量的起点取作“O ”点,则可使作图简化。 例4 如图5-10 设 =a ， =b,试用a 、b表示、、、。 解： ∵ = + =a + b ∴ = = (a +b) = - = - (a +b) ∵ = - =b -a ∴ = = (b –a ) = - = - (b –a ) 向量的加法 、向量的减法、向量的数乘统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍是一个向量。 课堂练习5.1 1、判断下列结论是否正确。 （1）若a，b都是单位向量，则a = b。 （2）若a，b都是单位向量，则|a| =|b|。 （3）物理学中的作用力和反作用力是一对向反的向量。 （4）相等或相反的向量，一定是平行向量。 2、在图5-11中，写出相等的向量，相反的向量，模相等的向量，平行的向量。 3、在图5-12中， D、E、F分别是△ABC三边的中点，设 =a、 =b、 =c，则向量 = , = , = 。 4、向量a表示向东走2km、向量b表示向南